Question

如圖，拋物線y=

4

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(x-6)(x-19)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，直線CD∥x軸交拋物線于D點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從C，D兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度均為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)P向射線DC方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q向射線BD方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒），AQ交CD于E．
（1）求線段AB與線段CD的長(zhǎng)；
（2）求△APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）連接BE．是否存在這樣的時(shí)刻t，使得∠AEB=∠BDC？若存在請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）先令y=0，求出A，B，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再令x=0，求出C點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間的距離公式求出AB，CD兩點(diǎn)間的距離即可．
（2）作PF⊥x軸于F，QG⊥x軸于G，DH⊥x軸于H，由（1）中所求A，B，C，D，的坐標(biāo)，根據(jù)三角形相似可求出PF，QG，F(xiàn)G，的長(zhǎng)，再利用梯形的面積減去△APF與△BQG的面積即可．
（3）若∠AEB=∠BDC，則根據(jù)△AEC∽△EBD，△QED∽△QAB求出t的值．

解答：解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，

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（x-6）（x-19）=0，
∴x₁=6，x₂=19，
∴x₁=6，x₂=19，
∴A（6，0），B（19，0），
∴AB=13．
當(dāng)x=0時(shí)，y=8，
∴C（0，8）．
當(dāng)y=8時(shí)，

4

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（x-6）（x-19）=8，
解得x₁=0，x₂=25，
∴D（25，8），
∴CD=25．

（2）如圖，
作PF⊥x軸于F，QG⊥x軸于G，DH⊥x軸于H，
∵CD∥x軸，
∴PF=DH=OC=8，OH=CD=25，
∵OA=6，OB=19，
∴BH=OH-OB=6，
∴BD=

BH2+DH2

=10，
∵△BDH∽△BQG，
∴

BD

BQ

=

DH

QG

=

BH

BG

．
由題意得CP=DQ=t，AF=t+6，
∴

10

10+t

=

8

QG

=

6

BG

，
∴QG=

4

5

t+8，BG=

3

5

t+6，
∴FG=t+19+

3

5

t+6=

8

5

t+25．
∴S=S_梯形PFGQ-S_△PAF-S_△AQG=

1

2

（PF+QG）•FG-

1

2

AF•PF-

1

2

AG•QG=

2

5

t²+8.8t+100．

（3）∵AC=BD=10，
∴四邊形ABDC為等腰梯形，
∴∠ACD=∠BDC．
若∠AEB=∠BDC，則∠AEC+∠BED=∠BED+∠EBD，
∴∠AEC=∠EBD．
同理，∠BED=∠EAC．
∴△AEC∽△EBD．
∴

AC

DE

=

CE

BD

，
即

10

DE

=

25-DE

10

，
∴DE=5（DE=20＞AB=13舍去），
∵△QED∽△QAB，
∴

ED

AB

=

QD

QB

，
即

5

13

=

t

t+10

，
解得t=

25

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題比較復(fù)雜，綜合考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)及等腰梯形的性質(zhì)，注意某個(gè)圖形無法解答時(shí)，常常放到其他圖形中，利用圖形間的“和差“關(guān)系求解．