Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABO的邊BO在x軸上，點(diǎn)A坐標(biāo)（5,12），B（17,0），點(diǎn)C為BO邊上一點(diǎn)，且AC=AO,點(diǎn)P為AB邊上一點(diǎn)，且OP⊥AC.

（1）求出∠B的度數(shù).

（2）試說明OA=OP.

（3）求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBO的面積.

Answer 1

【答案】（1）45°（2）詳見解析（3）P（12,5），

【解析】

(1) 過點(diǎn)A作AD⊥OB與點(diǎn)D，根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)易知OD、AD、BD的長度，進(jìn)而得到AD=BD，進(jìn)而得到∠B的度數(shù)；

(2) 延長BA交y軸于點(diǎn)E，由已知可得∠AOC=∠ACO,由等角的余角相等可得∠EOA=∠POB,結(jié)合∠OEB=∠ABO=45°,由三角形外角定理可得∠OAP=∠OPA,進(jìn)而可得OA=OP；

(3) 分別過點(diǎn)A作AM⊥y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，易知,進(jìn)而可得AM=PN,OM=ON,根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)可得OM和AM的長度，進(jìn)而可得ON和PN的長度，從而得到P點(diǎn)坐標(biāo)和的面積.

(1)如圖，過點(diǎn)A作AD⊥OB與點(diǎn)D，

∵A（5,12），B（17,0），

∴OD=5,OB=17,AD=12,

∴BD=OB-OD=17-5=12,

∴AD=BD,

又∵AD⊥OB，

∴∠OBA=45°；

(2)如圖，延長BA交y軸于點(diǎn)E，

∵AO=AC,

∴∠AOC=∠ACO,

∵EO⊥OB,OP⊥AC,

∴∠AOC+∠EOA=90°,∠ACO+∠POB=90°,

∴∠EOA=∠POB,

∵EO⊥OB,∠ABO=45°,

∴∠OEB=∠ABO=45°,

∵∠OAP=∠OEA+∠EOA,∠OPA=∠POB+∠PBO,

∴∠OAP=∠OPA,

∴OA=OP.

(3)如圖所示，分別過點(diǎn)A作AM⊥y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，

由(2)可知，OA=OP,∠MOA=∠PON,

又∵∠AMO=∠PNO=90°,

∴,

∴AM=PN,OM=ON,

∵點(diǎn)A坐標(biāo)（5,12），點(diǎn)B坐標(biāo)（17,0），

∴OM=12,AM=5,OB=17,

∴ON=OM=12,PN=AM=5,

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（12,5），

= = = .