Question

【題目】如圖，內接于⊙，，∥交的延長線于點．

（1）求證：是⊙的切線；

（2）若，．

①求的度數；

②求的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①；②

【解析】

（1）由，得到∠O=90°，由∥得到∠ODB=∠O，根據切線的判定定理得到結論；
（2）①先求出∠CBD和∠ACB的度數，即可求出的度數；

②如圖，過點C分別作CF⊥AB,CE⊥BD, 先求出CD和AC的長，再求的長即可.

解：（1）證明：∵∠BAC＝45°，

∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，

∵BD∥OC，

∴∠BOC+∠OBD＝180°，

∴∠OBD＝90°，

∴BD是⊙O的切線；

（2）①∵OC=OB,∠O＝90°，

∴∠OBC＝∠OCB＝45°，

∵∠OBD＝90°，

∴∠CBD＝45°，

∵，

∴∠ABC＝60°

在△ABC中，,∠ABC＝60°

∴∠ACB＝75°，

∴∠D=∠ACB-∠CBD=75°-45°=30°；

②如圖，過點C分別作CF⊥AB于點F，CE⊥BD于點E,

∵∠OBC＝45°, ,

∴CE=BC·sin∠CBE=2,

∵∠D＝30°,

∴CD=2CE=4,

在△FBC中，∠FBC＝60°, ,

∴CF=BC·sin∠CBF=,

在△ACF中，∠A＝45°,

∴AC==,

∴AD=AC+CD=.