【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,D、E、F分別是AC、BC、AB的中點,連接DE.點P從點D出發(fā),沿DE方向勻速運動;同時,點Q從點E出發(fā),沿EB方向勻速運動,兩者速度均為1cm/s;當其中一點停止運動時,另外一點也停止運動.連接PQ、PF,設運動時間為ts(0<t<4).解答下列問題:

(1)當t為何值時,△EPQ為等腰三角形?

(2)如圖①,設四邊形PFBQ的面積為ycm2,求yt之間的函數(shù)關系式;

(3)當t為何值時,四邊形PFBQ的面積與△ABC的面積之比為2:5?

(4)如圖②,連接FQ,是否存在某一時刻,使得PFQF互相垂直?若存在,求出此時t的值;若不存,請說明理由.

【答案】(1)當t=時,△EPQ為等腰三角形;(2)y=;(3)1;(4)t=時,PFQF互相垂直.

【解析】

(1)根據(jù)勾股定理求出AB=10,由DE是中位線可知DE=5,EPQ為等腰三角形只需PE=EQ,即t=5-t,解方程即可.(2)PPHBCH,連接FE,sinPEH=,可知PH=,EQP的高,根據(jù)CDE可求出DE邊的高,即PEFEFB的高,根據(jù)y=SPEF+SEFB﹣SEQP,即可得答案;(3)先求出ABC的面積,根據(jù)(2)所得關系式及已知面積比,列方程即可得答案.(4)如圖③過PPGABG,過QQHABH,過DDMABM,由勾股定理可知AM的長,BHQ中,利用∠B的三角函數(shù)值可得BH、QH的長,由PFFQ,可證明PGF∽△FHQ,根據(jù)對應邊的關系列出方程即可求得t的值.

1)C=90°,AC=6cm,BC=8cm,

AB=10cm,

由題意得:DP=EQ=t,

DAC的中點,EBC的中點,

DE=AB=5cm,

EP=EQ時,5﹣t=t,

t=,

即當t=時,△EPQ為等腰三角形;

(2)如圖②,過PPHBCH,連接FE,

sinPEH=

,

PH=

設△DCE中,DE邊上的高為h,

×3×4=×5h,h=

y=SPEF+SEFB﹣SEQP,

=×PE+×FB﹣EQPH,

=(5﹣t)+×5﹣ ,

=t+12;

(3),

5S四邊形PFBQ=2SABC

5(t+12)=2××6×8,

t2﹣9t+8=0,

t1=1,t2=8(舍);

(4)如圖③,過PPGABG,過QQHABH,過DDMABM,

由(3)知:PG=DM=

RtADM中,∵AD=3,

AM=,

FG=5﹣﹣t=﹣t,

RtQHB中,BQ=4﹣t,

sinB= ,

QH=,

BH=

FH=5﹣BH=,

PFFQ,

易得△PGF∽△FHQ,

PGQH=FHGF,

,

4t2﹣11t=0,

t1=0(舍),t2=

∴當t=時,PFQF互相垂直.

練習冊系列答案
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【題目】對于一元二次方程,下列說法:

①若,方程有兩個不等的實數(shù)根;

②若方程有兩個不等的實數(shù)根,則方程也一定有兩個不等的實數(shù)根;

③若是方程的一個根,則一定有成立;

④若是方程的一個根,則一定有成立,其中正確的只有(

A. ①②④ B. ②③ C. ③④ D. ①④

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銷售量 y(千克)

34.8

32

29.6

28

售價 x(元/千克)

22.6

24

25.2

26

(1)某天這種水果的售價為 23.5 /千克,求當天該水果的銷售量.

(2)如果某天銷售這種水果獲利 150 元,那么該天水果的售價為多少元?

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時間x(天)

3

4

5

6

8

……

硫化物的濃y(mg/L)

4

3

2.4

2

1.5

(1)求整改過程中當0≤x<3時,硫化物的濃度y與時間x的函數(shù)表達式;

(2)求整改過程中當x≥3時,硫化物的濃度y與時間x的函數(shù)表達式;

(3)該企業(yè)所排污水中硫化物的濃度,能否在15天以內(nèi)不超過最高允許的1.0 mg/L?為什么?

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①關于的一元二次方程,若,則方程一定沒有實數(shù)根;

②關于的一元二次方程,若,則方程必有實數(shù)根;

③若是方程的根,則;

④若,,為三角形三邊,方程有兩個相等實數(shù)根,則該三角形為直角三角形.

A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ①③④

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