【題目】已知圓內(nèi)一點(diǎn)到圓周上的點(diǎn)的最大距離是7,最小距離是5,則該圓的半徑是__________.

【答案】6

【解析】由題意,

該圓的半徑為 . 理由如下.

如圖,設(shè)圓心為點(diǎn)O該圓內(nèi)的點(diǎn)為點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作直徑CD,過(guò)點(diǎn)P作弦ABCD.

不妨在圓周上任意取異于點(diǎn)D與點(diǎn)C的兩點(diǎn)D1,D2. 連接OD1,OD2,PD1,PD2.

設(shè)該圓的半徑為r,則OD=OC=OD1=OD2=r.

點(diǎn)P到點(diǎn)D的距離PD=OD-OP=r-OP,點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離PC=OC+OP=r+OP.

PC>PD.

在△OPD1中,PD1>OD1-OP=r-OP=PD;在△OPD2中,PD2>OD2-OP=r-OP=PD.

PD1>PDPD2>PD,PC>PD.

∴點(diǎn)P到點(diǎn)D的距離PD是點(diǎn)P與圓周上的點(diǎn)的最小距離.

在△OPD1中,PD1<OD1+OP=r+OP=PC;在△OPD2中,PD2<OD2+OP=r+OP=PC.

PD1<PC,PD2<PC,PD<PC.

∴點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離PC是點(diǎn)P與圓周上的點(diǎn)的最大距離.

綜上所述,對(duì)于圓內(nèi)的一點(diǎn),它到圓周上的點(diǎn)的最大距離與最小距離之和恰好等于圓的直徑,故該圓的半徑為上述最大距離與最小距離之和的一半.

故本題應(yīng)填寫(xiě):6.

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