【題目】在平面直角坐標(biāo)系x0y中,對于圖形G,若存在一個正方形γ,這個正方形的某條邊與x軸垂直,且圖形G上的所有的點(diǎn)都在該正方形的內(nèi)部或者邊上,則稱該正方形γ為圖形G的一個正覆蓋.很顯然,如果圖形G存在一個正覆蓋,則它的正覆蓋有無數(shù)個,我們將圖形G的所有正覆蓋中邊長最小的一個,稱為它的緊覆蓋.如圖所示,圖形G為三條線段和一個圓弧組成的封閉圖形,圖中的三個正方形均為圖形G的正覆蓋,其中正方形ABCD就是圖形G的緊覆蓋.
(1)對于半徑為2的⊙0,它的緊覆蓋的邊長為 .
(2)如圖1,點(diǎn)P為直線y=-2x+3上一動點(diǎn),若線段OP的緊覆蓋的邊長為2,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)如圖2,直線y=3x+3與x軸,y軸分別交于A,B,
①以0為圓心,r為半徑的⊙0與線段AB有公共點(diǎn),且由⊙0與線段AB組成的圖形G的緊覆蓋的邊長小于4,直接寫出r的取值范圍;
②若在拋物線y=ax2+2ax-2(a≠0)上存在點(diǎn)C,使得△ABC的緊覆蓋的邊長為3,直接寫出a的取值范圍.
【答案】(1)4(2)(,2)或(2,-1)(3) ②a≥或a<-2
【解析】
(1) 由緊覆蓋的定義可得邊長
(2)線段OP的緊覆蓋的邊長為2,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),分|y|≥|x|及若|y|<|x|討論可得答案;
(3)又 r為半徑的⊙0與線段AB有公共點(diǎn),且由⊙0與線段AB組成的圖形G的緊覆蓋的邊長小于4可得答案;
(4)由在拋物線y= ax2+2ax-2 (a≠0)上存在點(diǎn)C,使得△ABC的緊覆蓋的邊長為3,可得答案.
(1)4;
(2)解:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),有兩種情況
①若|y|≥|x|,則線段OP的緊覆蓋的邊長為|y|=2,
當(dāng)y=2時,-2x+3=2,得x=,符合題意,點(diǎn)P為(,2);
當(dāng)y=-2時,-2x+3=-2,得x=-,不符合題意,舍去.
②若|y|<|x|,則線段OP的緊覆蓋的邊長為|x|=2,
當(dāng)x=2時,y=-2x+3=-1,符合題意,點(diǎn)P為(2,-1);
當(dāng)x=-2時,y=-2x+3=7,不符合題意,舍去.
綜上,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,2)或(2,-1)
(3)①
②a≥或a<-2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商店購進(jìn)一批成本為每件30元的商品,商店按單價不低于成本價,且不高于50元銷售.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),該商品每天的銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系,其圖象如圖所示.
(1)求該商品每天的銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)銷售單價定為多少元時,才能使銷售該商品每天獲得的利潤w(元)最大?最大利潤是多少?
(3)若商店要使銷售該商品每天獲得的利潤高于800元,請直接寫出每天的銷售量y(件)的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線.
(1)我們把一條拋物線上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)叫做這條拋物線的“方點(diǎn)”.試求拋物線的“方點(diǎn)”的坐標(biāo);
(2)如圖,若將該拋物線向左平移1個單位長度,新拋物線與軸相交于、兩點(diǎn)(在左側(cè)),與軸相交于點(diǎn),連接.若點(diǎn)是直線上方拋物線上的一點(diǎn),求的面積的最大值;
(3)第(2)問中平移后的拋物線上是否存在點(diǎn),使是以為直角邊的直角三角形?若存在,直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀以下材料,并按要求完成相應(yīng)地任務(wù):
萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler)是瑞士數(shù)學(xué)家,在數(shù)學(xué)上經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù),公式和定理,下面是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個定理:在△ABC中,R和r分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑,O和I分別為其外心和內(nèi)心,則.
如圖1,⊙O和⊙I分別是△ABC的外接圓和內(nèi)切圓,⊙I與AB相切分于點(diǎn)F,設(shè)⊙O的半徑為R,⊙I的半徑為r,外心O(三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn))與內(nèi)心I(三角形三條角平分線的交點(diǎn))之間的距離OI=d,則有d2=R2﹣2Rr.
下面是該定理的證明過程(部分):
延長AI交⊙O于點(diǎn)D,過點(diǎn)I作⊙O的直徑MN,連接DM,AN.
∵∠D=∠N,∠DMI=∠NAI(同弧所對的圓周角相等),
∴△MDI∽△ANI,
∴,
∴①,
如圖2,在圖1(隱去MD,AN)的基礎(chǔ)上作⊙O的直徑DE,連接BE,BD,BI,IF,
∵DE是⊙O的直徑,∴∠DBE=90°,
∵⊙I與AB相切于點(diǎn)F,∴∠AFI=90°,
∴∠DBE=∠IFA,
∵∠BAD=∠E(同弧所對圓周角相等),
∴△AIF∽△EDB,
∴,∴②,
任務(wù):(1)觀察發(fā)現(xiàn):, (用含R,d的代數(shù)式表示);
(2)請判斷BD和ID的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)請觀察式子①和式子②,并利用任務(wù)(1),(2)的結(jié)論,按照上面的證明思路,完成該定理證明的剩余部分;
(4)應(yīng)用:若△ABC的外接圓的半徑為5cm,內(nèi)切圓的半徑為2cm,則△ABC的外心與內(nèi)心之間的距離為 cm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2+mx+n與x軸正半軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),與y軸交于點(diǎn) C.
(1)若△OBC是等腰直角三角形,且其腰長為3,求拋物線的解析式;
(2)在(1)的條件下,點(diǎn)P為拋物線對稱軸上的一點(diǎn),則PA+PC的最小值為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如下表所示,有A、B兩組數(shù):
第1個數(shù) | 第2個數(shù) | 第3個數(shù) | 第4個數(shù) | …… | 第9個數(shù) | …… | 第n個數(shù) | |
A組 | ﹣6 | ﹣5 | ﹣2 | …… | 58 | …… | n2﹣2n﹣5 | |
B組 | 1 | 4 | 7 | 10 | …… | 25 | …… |
(1)A組第4個數(shù)是 ;
(2)用含n的代數(shù)式表示B組第n個數(shù)是 ,并簡述理由;
(3)在這兩組數(shù)中,是否存在同一列上的兩個數(shù)相等,請說明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=x2+bx的圖象如圖,對稱軸為x=1.若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx﹣2t=0(t為實(shí)數(shù))在﹣1<x≤4的范圍內(nèi)有解,則t的取值范圍是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,∠ABC的角平分線BE與AD交于點(diǎn)E,∠BED的角平分線EF與DC交于點(diǎn)F,若AB=8,DF=3FC,則BC=__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】觀察下列各式及其驗(yàn)證過程:,驗(yàn)證:,驗(yàn)證:.
(1)按照上述兩個等式及其驗(yàn)證過程,猜想的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證;
(2)針對上述各式反映的規(guī)律,直接寫出用a(a≥2的整數(shù))表示的等式.
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