Question

某公司年初推出一種高新技術(shù)產(chǎn)品，該產(chǎn)品銷售的累積利潤y（萬元）與銷售時間x（月）之間的解析式（即前x個月的利潤總和y與x之間的關(guān)系）為y=

1

2

x²-2x（x≥0）．
（1）求圖象與x軸的交點坐標O（

0

，0）；A（

4

，0）
（2）請在坐標系中畫出這個函數(shù)的簡圖；（友情提醒：注意取值范圍x≥0所對應的圖象）
（3）根據(jù)函數(shù)圖象，你能否判斷出公司銷售這種新產(chǎn)品是從第幾個月后開始盈利的？
（4）這個公司第6個月所獲的利潤是多少？

Answer 1

分析：（1）求出圖象與x軸交點坐標即可得出答案；
（2）實際問題與二次函數(shù)，畫函數(shù)圖象時，要抓住幾個關(guān)鍵點，開口方向，頂點及對稱軸，與x軸的交點等等；實際問題中的拋物線圖形一般不是完整的圖形，受自變量取值范圍的限制；
（3）利用圖象得出y大于0時，即為開始盈利；
（4）利用x=6代入解析式求出即可．

解答：解：（1）y=

1

2

x²-2x的圖象與x軸相交，則y=0，
故0=

1

2

x²-2x
x（

1

2

x-2）=0，
解得：x₁=0，x₂=4，
故圖象與x軸的交點坐標為：O（0，0），A（4，0）；
故答案為：0.4；


（2）由y=

1

2

（x²-4x）=

1

2

（x-2）²-2．
∴函數(shù)圖象的頂點坐標為（2，-2），對稱軸為直線x=2．
如圖所示：

（3）從函數(shù)圖象可以看出，從4月份開始新產(chǎn)品的銷售累積利潤盈利．

（4）x=5時，y=

1

2

×5²-2×5=2.5；
x=6時，y=

1

2

×6²-2×6=6，6-2.5=3.5．
∴這個公司第6個月所獲的利潤是3.5萬元．

點評：此題主要考查了一元二次方程的應用以及二次函數(shù)的應用一個準確的函數(shù)圖象，可以為回答問題提供答案，（3）實際上就是什么時候y＞0，即盈利．