Question

【題目】如圖，已知點B、C、D在同一條直線上，△ABC和△CDE都是等邊三角形.BE交AC于F， AD交CE于H.

（1）求證：∠CAD=∠CBE

（2）求證：FH∥BD.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】分析：（1）根據等邊三角形的性質就可以得出AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由SAS就可以得出△BCE≌△ACD，從而得出∠CAD=∠CBE；（2）FH與BD平行，由兩邊相等且一角為60°的三角形為等邊三角形得到三角形FCH為等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到一對內錯角相等，利用內錯角相等兩直線平行即可得證．

證明：（1）∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，

∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，

∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，

∴在△BCE和△ACD中，∵ ，∴△BCE≌△ACD （SAS）.

∴∠CAD=∠CBE

（2）由（1）知△BCE≌△ACD，則∠CBF=∠CAH，BC=AC

又∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，且點B、C、D在同一條直線上，

∴∠ACH=180°﹣∠ACB﹣∠HCD=60°=∠BCF，

在△BCF和△ACH中，∵ ，∴△BCF≌△ACH （ASA），∴CF=CH，

又∵∠FCH=60°，∴△CHF為等邊三角形∴∠FHC=∠HCD=60°，∴FH∥BD.