Question

如圖，直線y=x+b（b＞4）與x軸、y軸分別相交于點A、B，與反比例函數(shù)的圖象相交于點C、D（點C在點D的左側(cè)），⊙O是以CD長為半徑的圓．CE∥x軸，DE∥y軸，CE、DE相交于點E．
（1）△CDE是______三角形；點C的坐標為______

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得出∠DCE=45°，即可得出△CDE是等腰直角；再將y=x+b與y=-，聯(lián)立求出交點坐標即可；
（2）根據(jù)已知得出四邊形CAOE、OEDB是等腰梯形，進而得出OE=AC=BD=CD，再利用△AFC∽△AOB，求出b的值，即可得出答案；
（3）根據(jù)整個圖形是軸對稱圖形，得出點O、E、G在對稱軸上，即GC=GD=CD=OG=AG，再得出△AHC∽△AOB，求出b的值即可，進而判斷出直線y=x+b與⊙O的位置關(guān)系和b的取值范圍．
解答：解：（1）根據(jù)直線y=x+b（b＞4）與反比例函數(shù)的圖象相交于點C、D，CE∥x軸，DE∥y軸，
則y=x+b與y=x平行，
故∠DCE=45°，
則△CDE是等腰直角三角形；
將y=x+b與y=-，聯(lián)立得出：
x+b=-，
解得：x₁=，x₂=，分別代入y=x+b得：
y₁=，y₂=，
故點C的坐標為：（ ，），
點D的坐標為：（，）；
故答案為：等腰直角，（ ，），（，）；

（2）當(dāng)點E在⊙O上時，如圖1，連接OE．
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴E點橫坐標為：，縱坐標為：，
則OE=CD．
∵直線y=x+b與x軸、y軸相交于點A（-b，0），B（0，b），CE∥x軸，DE∥y軸，
∴△DCE、△AOB是等腰直角三角形．
∵整個圖形是軸對稱圖形，
∴OE平分∠AOB，∠AOE=∠BOE=45°．
∵CE∥x軸，DE∥y軸，
∴四邊形CAOE、OEDB是等腰梯形．
∴OE=AC=BD．
∵OE=CD，∴OE=AC=BD=CD．
過點C作CF⊥x軸，垂足為點F．
則△AFC∽△AOB．
∴．
∴AF=CF=BO=b．
∴，
解得：．
∵b＞4，∴．
∴當(dāng)時，點E在⊙O上．

（3）當(dāng)⊙O與直線y=x+b相切于點G時，
如圖2，連接OG．
∵整個圖形是軸對稱圖形，
∴點O、E、G在對稱軸上．
∴GC=GD=CD=OG=AG．
∴AC=CG=GD=DB．
∴AC=AB．
過點C作CH⊥x軸，垂足為點H．  
則△AHC∽△AOB．
∴．
∴C的縱坐標：．
∴，
解得．
∵b＞4，∴．
∴當(dāng)時，直線y=x+b與⊙O相切；
當(dāng)時，直線y=x+b與⊙O相離；
當(dāng)時，直線y=x+b與⊙O相交．
點評：此題主要考查了圓的綜合題目以及一次函數(shù)與反比函數(shù)的綜合應(yīng)用和相似三角形的判定與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合得出對應(yīng)線段之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．