Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=x2+px+q（p＜0）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，﹣1），△ABC的面積為 ．

（1）求該二次函數(shù)的關系式；
（2）過y軸上的一點M（0，m）作y軸的垂線，若該垂線與△ABC的外接圓有公共點，求m的取值范圍；
（3）在該二次函數(shù)的圖象上是否存在點D，使四邊形ACBD為直角梯形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵OC=1，

∴q=﹣1，

∵△ABC的面積為 ．

∴ OC×AB= ，

解得AB= ，

設A（a，0），B（b，0），

則a、b是一元二次方程x2+px﹣1=0兩個根，

∴a+b=﹣p，ab=﹣1，

∴AB=b﹣a= = ，

解得p= ，

又∵p＜0，

∴p= ．

所以解析式為：y=x2﹣ x﹣1；

（2）

解：如圖1所示，

令y=0，

解方程得x2﹣ x﹣1=0，

得x1=﹣ ，x2=2，

所以A（ ，0），B（2，0），

在直角三角形AOC中可求得AC= ，同樣可求得BC= ，

顯然AC2+BC2=AB2，得三角形ABC是直角三角形．AB為斜邊，

所以外接圓的直徑為AB= ，

所以 ．

（3）

存在，AC⊥BC，

如圖2所示，

①若以AC為底邊，則BD∥AC，易求AC的解析式為y=﹣2x﹣1，

可設BD的解析式為y=﹣2x+b，

把B（2，0）代入得BD解析式為y=﹣2x+4，

解方程組

得D（ ，9）

②若以BC為底邊，則BC∥AD，易求BC的解析式為y=0.5x﹣1，

可設AD的解析式為y=0.5x+b，把A（ ，0）代入

得AD解析式為y=0.5x+0.25，

解方程組

得D（ ）

綜上，所以存在兩點：（ ，9）或（ ）．

【解析】（1）由△ABC的面積為 ，可得AB×OC= ，又二次函數(shù)y=x2+px+q（p＜0）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，﹣1）可求得該二次函數(shù)的關系式；（2）根據(jù)直線與圓的位置的位置關系確定m的取值范圍．（3）四邊形ABCD為直角梯形，要分類討論，即究竟那條邊為底．可以分別以AC、BC為底進行討論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形的外接圓與外心的相關知識，掌握過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心．