【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)M（1，3）和N（3，5）

（1）試判斷該拋物線與x軸交點(diǎn)的情況；

（2）平移這條拋物線，使平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0），且與y軸交于點(diǎn)B，同時滿足以A、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，請你寫出平移過程，并說明理由．

【答案】（1）拋物線與x軸沒有交點(diǎn)；（2）先向左平移3個單位，再向下平移3個單位或將原拋物線先向左平移2個單位，再向下平移5個單位．

【解析】

試題分析：（1）把M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得a、b的值，可求得拋物線解析式，再根據(jù)一元二次方程根的判別式，可判斷拋物線與x軸的交點(diǎn)情況；

（2）利用A點(diǎn)坐標(biāo)和等腰三角形的性質(zhì)可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出平移后的拋物線的解析式，把A、B的坐標(biāo)代入可求得平移后的拋物線的解析式，比較平移前后拋物線的頂點(diǎn)的變化即可得到平移的過程．

試題解析：

（1）由拋物線過M、N兩點(diǎn)，把M、N坐標(biāo)代入拋物線解析式可得：，解得：，∴拋物線解析式為，令y=0可得，該方程的判別式為△=9﹣4×1×5=9﹣20=﹣11＜0，∴拋物線與x軸沒有交點(diǎn)；

（2）∵△AOB是等腰直角三角形，A（﹣2，0），點(diǎn)B在y軸上，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）或（0，﹣2），可設(shè)平移后的拋物線解析式為：

①當(dāng)拋物線過點(diǎn)A（﹣2，0），B（0，2）時，代入可得：，解得：，∴平移后的拋物線為，∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，），而原拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，），∴將原拋物線先向左平移3個單位，再向下平移3個單位即可獲得符合條件的拋物線；

②當(dāng)拋物線過A（﹣2，0），B（0，﹣2）時，代入可得：，解得：，∴平移后的拋物線為，∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，），而原拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，），∴將原拋物線先向左平移2個單位，再向下平移5個單位即可獲得符合條件的拋物線．

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（1）試說明：BD=DE+CE．

（2）若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（2）位置時（BD＜CE），其余條件不變，問BD與DE、CE的關(guān)系如何？請直接寫出結(jié)果；

（3）若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（3）位置時（BD＞CE），其余條件不變，問BD與DE、CE的關(guān)系如何？請直接寫出結(jié)果，不需說明理由．

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型號

22

22.5

23

23.5

24

24.5

25

數(shù)量（雙）

3

5

10

15

8

3

2

鞋店經(jīng)理最關(guān)心的是哪種型號的鞋銷量最大．對他來說，下列統(tǒng)計(jì)量中最重要的是（ ）

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（1）求拋物線的解析式．

（2）設(shè)點(diǎn)M（m，n）為拋物線上的一個動點(diǎn)，且在曲線PA上移動．

①當(dāng)點(diǎn)M在曲線PB之間（含端點(diǎn)）移動時，是否存在點(diǎn)M使△APM的面積為？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

②當(dāng)點(diǎn)M在曲線BA之間（含端點(diǎn)）移動時，求|m|+|n|的最大值及取得最大值時點(diǎn)M的坐標(biāo)．

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（1）分別求這兩個函數(shù)的表達(dá)式；

（2）將直線OA向上平移3個單位長度后與y軸交于點(diǎn)B，與反比例函數(shù)圖象在第四象限內(nèi)的交點(diǎn)為C，連接AB，AC，求點(diǎn)C的坐標(biāo)及△ABC的面積．

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