【題目】在平面直角坐標(biāo)系中xOy中,拋物線yx24x+m+2的頂點(diǎn)在x軸上.

1)求拋物線的表達(dá)式;

2)點(diǎn)Qx軸上一點(diǎn),

若在拋物線上存在點(diǎn)P,使得∠POQ45°,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

拋物線與直線y1交于點(diǎn)E,F(點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)),將此拋物線在點(diǎn)EF(包含點(diǎn)E和點(diǎn)F)之間的部分沿x軸向左平移n個(gè)單位后得到的圖象記為G,若在圖象G上存在點(diǎn)P,使得∠POQ45°,求n的取值范圍.

【答案】(1)yx24x+4;(2)①點(diǎn)P的坐標(biāo)為(11)或(4,4);②在圖象G上存在點(diǎn)P,使得∠POQ45°,n的取值范圍為0n4

【解析】

1)根據(jù)拋物線頂點(diǎn)在x軸上,列式計(jì)算可得m的值;

(2)由∠POQ45°,作直線yx,交拋物線yx24x+4于點(diǎn)P,聯(lián)立解析式求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可;

(3)分兩種情況考慮:當(dāng)點(diǎn)P,Qy軸右側(cè)時(shí)與點(diǎn)P,Qy軸左側(cè)時(shí),列出不等式求解即可.

解:(1)∵拋物線yx24x+m+2的頂點(diǎn)在x軸上,

0,

解得:m2,

∴拋物線的表達(dá)式為yx24x+4

2作直線yx,交拋物線yx24x+4于點(diǎn)P,如圖1所示.

聯(lián)立直線OP及拋物線的表達(dá)式成方程組,得:,

解得:,,

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1)或(4,4).

當(dāng)y1時(shí),x24x+41,

解得:x11,x23,

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(11),點(diǎn)F的坐標(biāo)為(3,1).

分兩種情況考慮:

i)當(dāng)點(diǎn)PQy軸右側(cè)時(shí),∵拋物線yx24x+4與直線yx交于點(diǎn)(11),

∴當(dāng)13n3時(shí),圖象G上存在點(diǎn)P,使得∠POQ45°,解得:0n2;

ii)當(dāng)點(diǎn)PQy軸左側(cè)時(shí),同可得出,拋物線yx24x+4與直線y=﹣x交于點(diǎn)(﹣1,﹣1)或(﹣4,﹣4),

∴當(dāng)﹣13n1時(shí),圖象G上存在點(diǎn)P,使得∠POQ45°,解得:2n4

綜上所述:若在圖象G上存在點(diǎn)P,使得∠POQ45°,n的取值范圍為0n4

練習(xí)冊系列答案
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【題目】甲、乙兩地相距480km,一輛貨車從甲地勻速駛往乙地,貨車出發(fā)一段時(shí)間后,一輛汽車從乙地勻速駛往甲地,設(shè)貨車行駛的時(shí)間為線段OA表示貨車離甲地的距離xh的函數(shù)圖象;折線BCDE表示汽車距離甲地的距離的函數(shù)圖象.

求線段OA與線段CD所表示的函數(shù)表達(dá)式;

OACD相交于點(diǎn)F,求點(diǎn)F的坐標(biāo),并解釋點(diǎn)F的實(shí)際意義;

當(dāng)x為何值時(shí),兩車相距100千米?

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【題目】鄰邊不相等的平行四邊形紙片,剪去一個(gè)菱形,余下的一個(gè)四邊形,稱為第一次操作;在余下的四邊形紙片中再剪去一個(gè)菱形,又余下一個(gè)四邊形,稱為第二次操作;依此類推,若第n次操作余下的四邊形是菱形,則稱原平行四邊形為n階準(zhǔn)菱形,如圖1,ABCD中,若AB=1,BC=2,則ABCD1階準(zhǔn)菱形.

(1)猜想與計(jì)算:

鄰邊長分別為35的平行四邊形是_______階準(zhǔn)菱形;已知ABCD的鄰邊長分別為a,b(a>b),滿足a=8b+r,b=5r,請寫出ABCD___________階準(zhǔn)菱形

(2)操作與推理:

小明為了剪去一個(gè)菱形,進(jìn)行了如下操作:如圖2,把ABCD沿BE折疊(點(diǎn)EAD上),使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處,得到四邊形ABFE.請證明四邊形ABFE是菱形.

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【題目】為了了解初一年級學(xué)生每學(xué)期參加綜合實(shí)踐活動的情況,某區(qū)教育行政部門隨機(jī)抽樣調(diào)查了部分初一學(xué)生一個(gè)學(xué)期參加綜合實(shí)踐活動的天數(shù),并用得到的數(shù)據(jù)繪制了統(tǒng)計(jì)圖和圖,請根據(jù)圖中提供的信息,回答下列問題:

(I)本次隨機(jī)抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為   ,圖中的m的值為   ;

(II)求本次抽樣調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù);

(III)若該區(qū)初一年級共有學(xué)生2500人,請估計(jì)該區(qū)初一年級這個(gè)學(xué)期參加綜合實(shí)踐活動的天數(shù)大于4天的學(xué)生人數(shù).

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【題目】閱讀下面材料:

在數(shù)學(xué)課上,老師提出利用尺規(guī)作圖完成下面問題:

已知:∠ACB是△ABC的一個(gè)內(nèi)角.

求作:∠APB=∠ACB.

小明的做法如下:

如圖

①作線段AB的垂直平分線m;

②作線段BC的垂直平分線n,與直線m交于點(diǎn)O;

③以點(diǎn)O為圓心,OA為半徑作△ABC的外接圓;

④在弧ACB上取一點(diǎn)P,連結(jié)AP,BP.

所以∠APB=∠ACB.

老師說:“小明的作法正確.”

請回答:

(1)點(diǎn)O為△ABC外接圓圓心(即OA=OB=OC)的依據(jù)是_____;

(2)∠APB=∠ACB的依據(jù)是_____

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【題目】如圖,正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長都是一個(gè)單位長度,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,4),B(1,1),C(3,1).

(1)畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1

(2)畫出△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C2;

(3)在(2)的條件下,求線段BC掃過的面積(結(jié)果保留π).

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【題目】Surface平板電腦(如圖①)因體積小功能強(qiáng)備受好評,將Surface水平放置時(shí),側(cè)面示意圖如圖②所示,其中點(diǎn)M為屏幕AB的中點(diǎn),支架CM可繞點(diǎn)M轉(zhuǎn)動,當(dāng)AB的坡度i=時(shí),B點(diǎn)恰好位于C點(diǎn)的正上方,此時(shí)一束與水平面成37°的太陽光剛好經(jīng)過B,D兩點(diǎn),已知CM12cm,則AD的長(  )cm.(參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.6,cos37°≈0.8tan37°≈0.75

A. B. C. D. 20

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【題目】ABC中,E、F分別為線段AB、AC上的點(diǎn)(不與A、B、C重合).

(1)如圖1,若EFBC,求證:

(2)如圖2,若EF不與BC平行,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請說明理由;

(3)如圖3,若EF上一點(diǎn)G恰為ABC的重心,,求的值.

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【題目】如圖,已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn),其中點(diǎn)A(0,1,點(diǎn)B(﹣9,10,AC∥x軸,點(diǎn)P時(shí)直線AC下方拋物線上的動點(diǎn).

(1求拋物線的解析式;(2過點(diǎn)P且與y軸平行的直線l與直線AB、AC分別交于點(diǎn)E、F,當(dāng)四邊形AECP的面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí),在直線AC上是否存在點(diǎn)Q,使得以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

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