【題目】下面是小明主設(shè)計的“作一個含30°角的直角三角形”的尺規(guī)作圖過程.
已知:直線l.
求作:△ABC,使得∠ACB=90°,∠ABC=30°.
作法:如圖,
①在直線l上任取兩點O,A;
②以點O為圓心,OA長為半徑畫弧,交直線l于點B;
③以點A為圓心,AO長為半徑畫弧,交于點C;
④連接AC,BC.
所以△ABC就是所求作的三角形.
根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程:
(1)使用直尺和圓規(guī),補全圖形;(保留作圖痕跡)
(2)完成下面的證明.
證明:在⊙O中,AB為直徑,
∴∠ACB=90°(① ),(填推理的依據(jù))
連接OC
∵OA=OC=AC,
∴∠CAB=60°,
∴∠ABC=30°(② ),(填推理的依據(jù))
【答案】(1)見解析;(2)①直徑所對的圓周角是直角;②直角三角形兩銳角互余
【解析】
(1)根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程,用直尺和圓規(guī)作圖即可;
(2)證明思路為:由圓周角定理可得,再連接OC,根據(jù)等圓的半徑相等可得,再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得,最后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可證.
(1)根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程,用直尺和圓規(guī)作圖結(jié)果如下所示:
(2)在⊙O中,AB為直徑
(①直徑所對的圓周角是直角)
連接OC
(②直角三角形兩銳角互余)
故答案為:①直徑所對的圓周角是直角;②直角三角形兩銳角互余.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】綜合與探究
如圖,拋物線y=﹣x2﹣x+與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,直線l經(jīng)過B、C兩點,點M從點A出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向終點B運動,連接CM,將線段MC繞點M順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MD,連接CD、BD.設(shè)點M運動的時間為t(t>0),請解答下列問題:
(1)求點A的坐標與直線l的表達式;
(2)①請直接寫出點D的坐標(用含t的式子表示),并求點D落在直線l上時t的值;
②求點M運動的過程中線段CD長度的最小值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,有一個底面直徑與杯高均為的杯子里面盛了一些溶液,當它支在桌子上傾斜到液面與杯壁呈才能將液體倒出,則此時杯子最高處距離桌面________.(,,)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】閱讀下面的例題及點撥,并解決問題:
例題:如圖①,在等邊△ABC中,M是BC邊上一點(不含端點B,C),N是△ABC的外角∠ACH的平分線上一點,且AM=MN.求證:∠AMN=60°.
點撥:如圖②,作∠CBE=60°,BE與NC的延長線相交于點E,得等邊△BEC,連接EM.易證:△ABM≌△EBM(SAS),可得AM=EM,∠1=∠2;又AM=MN,則EM=MN,可得∠3=∠4;由∠3+∠1=∠4+∠5=60°,進一步可得∠1=∠2=∠5,又因為∠2+∠6=120°,所以∠5+∠6=120°,即:∠AMN=60°.
問題:如圖③,在正方形A1B1C1D1中,M1是B1C1邊上一點(不含端點B1,C1),N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分線上一點,且A1M1=M1N1.求證:∠A1M1N1=90°.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,將一個直角三角形紙片,放置在平面直角坐標系中,點,點,點.將沿翻折得到(點為點的對應點).
(Ⅰ)求的長及點的坐標;
(Ⅱ)點是線段上的點,點是線段上的點.
①已知,,是軸上的動點,當取最小值時,求出點的坐標及點到直線的距離;
②連接,,且,現(xiàn)將沿翻折得到(點為點的對應點),再將繞點順時針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)過程中,射線,交直線分別為點,,最后將沿翻折得到(點為點的對應點),連接,若,求點的坐標(直接寫出結(jié)果即可).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某學校在A、B兩個校區(qū)各有九年級學生200人,為了解這兩個校區(qū)九年級學生的教學學業(yè)水平的情況,進行了抽樣調(diào)查,過程如下,請補充完整.
收集數(shù)據(jù):從A、B兩個校區(qū)各隨機抽取20名學生,進行了數(shù)學學業(yè)水平測試,測試成績(百分制)如下:
A校區(qū) 86 74 78 81 76 75 86 70 75 90
75 79 81 70 74 80 87 69 83 77
B校區(qū) 80 73 70 82 71 82 83 93 77 80
81 93 81 73 88 79 81 70 40 83
整理、描述數(shù)據(jù) 按如下分數(shù)段整理、描述這兩組樣本數(shù)據(jù):
成績x 人數(shù) 校區(qū) | 40≤x<50 | 50≤x<60 | 60≤x<70 | 70≤x<80 | 80≤x<90 | 90≤x≤100 |
A | 0 | 0 | 1 | 11 | 7 | 1 |
B |
(說明:成績80分及以上的學業(yè)水平優(yōu)秀,70﹣79分為淡定業(yè)水平良好,60﹣69分為學業(yè)水平合格,60分以下為學業(yè)水平不合格)
分析數(shù)據(jù) 兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表所示:
校區(qū) | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) |
A | 78.3 | m | 75 |
B | 78 | 80.5 | 81 |
其中m= ;
得出結(jié)論:a.估計B校區(qū)九年級數(shù)學學業(yè)水平在優(yōu)秀以上的學生人數(shù)為 ;
b.可以推斷出 校區(qū)的九年級學生的數(shù)學學業(yè)水平較高,理由為 (至少從兩個不同的角度說明推斷的合理性).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】目前“微信”以其顛覆性的創(chuàng)新,贏得了數(shù)億人的支持,為了調(diào)查某中學學生在周日上“微信”的時間,隨機對100名男生和100名女生進行了問卷調(diào)查,得到了如下的統(tǒng)計結(jié)果
表1:男生上“微信時間的頻數(shù)分布表
上網(wǎng)時間(分鐘) | 30≤x<40 | 40≤x<50 | 50≤x<60 | 60≤x<70 | 70≤x<80 |
人數(shù) | 5 | 25 | 30 | 25 | 15 |
表2:女生上“微信”時間的頻數(shù)分布表
上網(wǎng)時間(分鐘) | 30≤x<40 | 40≤x<50 | 50≤x<60 | 60≤x<70 | 70≤x<80 |
人數(shù) | 10 | 20 | 40 | 20 | 10 |
請結(jié)合圖表完成下列各題
(1)完成表3:
表3 | 上“微信”時間少于60分鐘 | 上“微信”時間不少于60分鐘 |
男生人數(shù) |
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女生人數(shù) |
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(2)若該中學共有女生750人,請估計其中上“微信”時間不少于60分鐘的人數(shù);
(3)從表3的男生中抽取5人(其中3人上“微信”時間少于60分鐘,2人上“微信”時間不少于60分鐘),再從抽取的5人中任取2人,請用列表或畫樹狀圖的方法求出至少有一人上“微信”時間不少于60分鐘的概率.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線與軸交于點與軸交于點二次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點,且與軸的負半軸交于點.
求二次函數(shù)的解析式及點的坐標.
點是線段上的一動點,動點在直線下方的二次函數(shù)圖象上.設(shè)點的橫坐標為.過點作于點求線段的長關(guān)于的函數(shù)解析式,并求線段的最大值.
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