【題目】如圖,在直角坐標系中有,為坐標原點,,將此三角形繞原點順時針旋轉(zhuǎn),得到,二次函數(shù)的圖象剛好經(jīng)過三點.
(1)求二次函數(shù)的解析式及頂點的坐標;
(2)過定點的直線與二次函數(shù)圖象相交于兩點.
①若,求的值;
②證明:無論為何值,恒為直角三角形;
③當直線繞著定點旋轉(zhuǎn)時,外接圓圓心在一條拋物線上運動,直接寫出該拋物線的表達式.
【答案】(1),;(2)①;②見解析;③.
【解析】
(1)求出點A、B、C的坐標分別為(0,3)、(-1,0)、(3,0),即可求解;
(2)①S△PMN=PQ×(x2-x1),則x2-x1=4,即可求解;②k1k2==-1,即可求解;③取MN的中點H,則點H是△PMN外接圓圓心,即可求解.
(1),則,
即點的坐標分別為、、,
則二次函數(shù)表達式為:,
即:,解得:,
故函數(shù)表達式為:,
點;
(2)將二次函數(shù)與直線的表達式聯(lián)立并整理得:
,
設點的坐標為、,
則,
則:,
同理:,
①,當時,,即點,
,則,
,
解得:;
②點的坐標為、、點,
則直線表達式中的值為:,直線表達式中的值為:,
為: ,
故,
即:恒為直角三角形;
③取的中點,則點是外接圓圓心,
設點坐標為,
則,
,
整理得:,
即:該拋物線的表達式為:.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,直線a∥b,依次有3個三角形放置在上面,它們分別是等邊三角形、等腰直角三角形、含30°角的直角三角形,直接填寫出∠1、∠2、∠3 的度數(shù).
∠1= °;∠2= °;∠3= °.
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【題目】如圖反映的過程是小明從家去食堂吃早餐,接著去圖書館讀報,然后回家,其中x表示時間,y表示小明離家的距離,小明家、食堂、圖書館在同一直線上,根據(jù)圖中提供的信息,下列說法正確的是( 。
A.食堂離小明家2.4km
B.小明在圖書館呆了20min
C.小明從圖書館回家的平均速度是0.04km/min
D.圖書館在小明家和食堂之間.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知∠xOy=90°,線段AB=10,若點A在Oy上滑動,點B隨著線段AB在射線Ox上滑動(A,B與O不重合),Rt△AOB的內(nèi)切圓☉K分別與OA,OB,AB切于點E,F(xiàn),P.
(1)在上述變化過程中,Rt△AOB的周長,☉K的半徑,△AOB外接圓半徑,這幾個量中不會發(fā)生變化的是什么?并簡要說明理由.
(2)當AE=4時,求☉K的半徑r.
(3)當Rt△AOB的面積為S,AE為x,試求S與x之間的函數(shù)關(guān)系,并求出S最大時直角邊OA的長.
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【題目】已知,關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax2﹣2ax(a>0)的頂點為C,與x軸交于點O、A,關(guān)于x的一次函數(shù)y=﹣ax(a>0).
(1)試說明點C在一次函數(shù)的圖象上;
(2)若兩個點(k,y1)、(k+2,y2)(k≠0,±2)都在二次函數(shù)的圖象上,是否存在整數(shù)k,滿足?如果存在,請求出k的值;如果不存在,請說明理由;
(3)若點E是二次函數(shù)圖象上一動點,E點的橫坐標是n,且﹣1≤n≤1,過點E作y軸的平行線,與一次函數(shù)圖象交于點F,當0<a≤2時,求線段EF的最大值.
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【題目】如圖1,在△ABC中,ABAC,過AB上一點D作DE∥AC交BC于點E,以E為頂點,ED為一邊,作∠DEF∠A,另一邊EF交AC于點F.
(1)求證:四邊形ADEF為平行四邊形;
(2)當D為AB中點時,四邊形ADEF的形狀為 (直接寫出結(jié)論);
(3)延長圖1中的DE到點G,使EGDE,連接AE,AG,FG,得到圖2.若ADAG,判斷四邊形AEGF的形狀,并說明理由.
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【題目】如圖所示,有一座拋物線形拱橋,橋下面在正常水位時,AB寬20 m,水位上升到警戒線CD時,CD到拱橋頂E的距離僅為1 m,這時水面寬度為10 m.
(1)在如圖所示的坐標系中求拋物線的解析式;
(2)若洪水到來時,水位以每小時0.3 m的速度上升,從正常水位開始,持續(xù)多少小時到達警戒線?
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【題目】某公司對一種新型產(chǎn)品的產(chǎn)銷情況進行了營銷調(diào)查,發(fā)現(xiàn)年產(chǎn)量為x(噸)時,所需的成本y(萬元)與(x2+60x+800)成正比例,投入市場后當年能全部售出且發(fā)現(xiàn)每噸的售價p(單位:萬元)由基礎價與浮動價兩部分組成,其中基礎價是固定不變的,浮動價與x成正比例,比例系數(shù)為-.在營銷中發(fā)現(xiàn)年產(chǎn)量為20噸時,所需的成本是240萬元,并且年銷售利潤W(萬元)的最大值為55萬元.(注:年利潤=年銷售額-成本)
(1)求y(萬元)與x(噸)之間滿足的函數(shù)解析式;
(2)求年銷售利潤W與年產(chǎn)量x(噸)之間滿足的函數(shù)解析式;
(3)當年銷售利潤最大時,每噸的售價是多少萬元?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】解方程:
(1)x2﹣4x﹣3=0
(2)(x﹣3)2+2x(x﹣3)=0
(3)(x﹣1)2=4
(4)3x2+5(2x+3)=0.
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