Question

如圖所示，在矩形ABCD中，E為BC上一動點，BE=kCE，ED交AC于點P，DQ⊥AC于Q，AB=nBC
（1）當n=1，k=2時（如圖1），

CP

PQ

=

 

；
（2）當n=

2

，k=1時（如圖2），求證：CP=AQ；
（3）若k=1，當n=

 

時，有CP⊥DE．

Answer 1

分析：（1）根據題意可以得出Q為正方形的中點，AQ=CQ，結合△ADP∽△CEP，得出CP和AP的關系，即可得出結論．
（2）同（1）得出CP和AP的關系，設BC=1，則AB=

2

，進而得出AC的長，由條件可以證得△ADQ∽△CAB，即得出AD、CA、AQ、BC之間的關系式，求出AQ的值，即可證得．
（3）把結論當做已知條件，可得△CPE∽△CBA，求得CE、CP、CA、CB之間的關系式，設BC=1，則可以表示出AB、AC、PC的值，代入關系式求解即可．

解答：解：（1）∵矩形ABCD中，AB=AC，
∴AD=BC、AD∥BC，OA=OC，
∴∠DAP=∠ECP，∠ADP=∠CPE，
∴△ADP∽△CEP，
∴

AP

CP

=

AD

CE

，
∵BE=kCE，k=2，
∴AD：CE=3：1，
∴AP：CP=3：1，
∴

CP

PQ

=1．

（2）證明：∵矩形ABCD中，BE=kCE，AB=nBC，n=

2

，k=1，
∴AD∥BC，AD=BC，∠DAP=∠ECP，∠ADP=∠CEP，
∴△ADP∽△CEP，
∴

AD

CE

=

AP

CP

=

2

1

，
設BC=1，則AB=

2

，根據勾股定理得AC=

3

，PC=

3

3

∵DAQ=∠BCA、∠AQD=∠B=90°，
∴△ADQ∽△CAB，
∴

AQ

BC

=

AD

AC

=

1

3

，
∴AQ=

3

3

，
∴CP=AQ．

（3）∵矩形ABCD中，BE=kCE，AB=nBC，k=1，
∴AD∥BC，AD=BC，∠DAP=∠ECP，∠ADP=∠CEP，
∴

AD

CE

=

AP

CP

=

2

1

，
設BC=1，則AB=n，AC=

1+n2

，
∴PC=

1+n2

3

，
∵CP⊥DE，
∴∠CPE=∠CBA，
∵∠ECP=∠ACB，
∴△CPE∽△CBA，
∴

CE

AC

=

CP

BC

，
∴

1 2

1+n2

=

1+n2 3

1

，
∴n=

2

2

．

點評：本題考查了矩形的性質，綜合運用了三角形相似的性質，屬于基本的題型，要求熟練掌握．