Question

【題目】如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ACB的角平分線分別交AB，BD于M，N兩點(diǎn)．若AM=2，則線段ON的長(zhǎng)為（ ）
A.
B.
C.1
D.

Answer 1

【答案】C
【解析】解：作MH⊥AC于H，如圖，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠MAH=45°，
∴△AMH為等腰直角三角形，
∴AH=MH= AM= ×2= ，
∵CM平分∠ACB，
∴BM=MH= ，
∴AB=2+ ，
∴AC= AB= （2+ ）=2 +2，
∴OC= AC= +1，CH=AC﹣AH=2 +2﹣ =2+ ，
∵BD⊥AC，
∴ON∥MH，
∴△CON∽△CHM，
∴ = ，即 = ，
∴ON=1．
故選C．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的角平分線的性質(zhì)定理和正方形的性質(zhì)，需要了解定理1：在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等； 定理2：一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能得出正確答案．