Question

如圖，邊長(zhǎng)為12的正三角形ABC內(nèi)接于圓，弦DE∥BC分別交AB，AC于F，G，若AF長(zhǎng)x，DF長(zhǎng)y都是正整數(shù)，則y的值為

1. A.
   2
2. B.
   3
3. C.
   4
4. D.
   6

Answer 1

C
分析：由已知可得DE=x+2y，過(guò)O點(diǎn)作OH⊥BC，垂足為H，連接OB，根據(jù)已知條件可求半徑OB，由DE≤2OB，列不等式，再根據(jù)相交弦定理及x、y為正整數(shù)求解．
解答：解：過(guò)O點(diǎn)作OH⊥BC，垂足為H，連接OB，
在Rt△OBH中，BH=BC=6，∠OBH=∠ABC=30°，
∴OB==4，
根據(jù)圓的對(duì)稱性及等邊三角形的性質(zhì)可知，DE=x+2y，
由DE≤2OB，得x+2y≤8≈13.8，
又由相交弦定理，得AF×BF=DF×FE，
即x（12-x）=y（x+y），
當(dāng)x=1時(shí)，方程為y²+y-11=0，y無(wú)正整數(shù)解，
當(dāng)x=2時(shí)，方程為y²+2y-20=0，y無(wú)正整數(shù)解，
當(dāng)x=3時(shí)，方程為y²+3y-27=0，y無(wú)正整數(shù)解，
當(dāng)x=4時(shí)，方程為y²+4y-32=0，y=-8或4（舍去負(fù)數(shù)），
而x=4，y=4滿足x+2y≤8，
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形外接圓的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，相交弦定理的運(yùn)用．關(guān)鍵是明確DE的取值范圍，根據(jù)x、y為正整數(shù)，分類討論．