Question

【題目】拋物線y=ax2+bx的頂點M（，3）關(guān)于x軸的對稱點為B，點A為拋物線與x軸的一個交點，點A關(guān)于原點O的對稱點為A′；已知C為A′B的中點，P為拋物線上一動點，作CD⊥x軸，PE⊥x軸，垂足分別為D，E．

（1）求點A的坐標(biāo)及拋物線的解析式；

（2）當(dāng)0＜x＜2時，是否存在點P使以點C，D，P，E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x（2）存在點P（+，）或（﹣，）使得四邊形CDPE是平行四邊形

【解析】

（1）由拋物線的對稱性質(zhì)求得點A的坐標(biāo)，然后分別將點A、O的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，列出關(guān)于a，b的方程組，通過解方程組求得它們的值即可；

（2）假設(shè)存在點P使得以點C，D，P，E為頂點的四邊形是平行四邊形，則PE∥CD且PE=CD．根據(jù)點的對稱性質(zhì)可得BF=3，結(jié)合三角形中位線定理求得PE=．根據(jù)x的取值范圍確定點P應(yīng)該在x軸的上方．可設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，），利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征進行解答．

（1）依題意得：拋物線y=ax2+bx經(jīng)過頂點M（，3）和（0，0），∴點A與原點關(guān)于對稱軸x=對稱，∴A（2，0），∴，解得：，∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+2x；

（2）假設(shè)存在點P使得以點C，D，P，E為頂點的四邊形是平行四邊形，則PE∥CD且PE=CD．

由頂點M（，3）關(guān)于x軸的對稱點B（，﹣3），可得：BF=3．

連接MB交x軸于F．

∵CD⊥x軸，BM⊥x軸，∴CD∥BF．

∵C為A′B的中點，∴CD是△A′BF的中位線，得PE=CD=BF=．

∵點A的坐標(biāo)是（2，0），∴當(dāng)0＜x＜2時，點P應(yīng)該在x軸的上方．

可設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，），∴y=﹣x2+2x=，解得：x=±，滿足0＜x＜2．

綜上所述：存在點P（+）或（﹣）使得四邊形CDPE是平行四邊形．