(2005•杭州)如圖,在△ABC中,∠B=60°,BA=24cm,BC=16cm.現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng);動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿線段CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),如果點(diǎn)P的速度是4cm/s,點(diǎn)Q的速度是2cm/s,它們同時(shí)出發(fā),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,求:
(1)當(dāng)t為何值時(shí),△PBQ的面積是△ABC的面積的一半;
(2)在第(1)問(wèn)的前提下,P,Q兩點(diǎn)之間的距離是多少?

【答案】分析:(1)作輔助線,分別過(guò)C,Q作CG⊥AB,QH⊥AB于G,H,在Rt△BCG中,已知BC,∠B的值,可求出CG的值,代入S△ABC進(jìn)行求解,根據(jù)AP和CQ的值,可將BP,BQ的值表示出來(lái),在Rt△BQH中,根據(jù)三角函數(shù)可將QH的值求出,代入S△PBQ=BP•QH,再根據(jù)S△PBQ與S△ABC的關(guān)系,從而可求出時(shí)間t;
(2)當(dāng)t=2時(shí),可將BP,BQ的值求出,在Rt△BHQ中,根據(jù)三角函數(shù)可將BH,HQ的值求出,進(jìn)而可將PH的值求出,在Rt△PQH中,根據(jù)勾股定理可求出PQ的值,當(dāng)t=12時(shí),同理可將PQ的值求出.
解答:解:(1)分別過(guò)C,Q作CG⊥AB,QH⊥AB于G,H,
∵BC=16,∠B=60°,
∴CG=BC•sin60°=,
又∵AB=24,
∴S△ABC=AB•CG=96,
又∵AP=4t,CQ=2t,
∴BP=24-4t,BQ=16-2t(0<t<8),
∴QH=BQ•sin60°=(8-t)
∴S△PBQ=BP•QH=×(24-4t)×(8-t),
又∵S△PBQ=S△ABC
×(24-4t)×(8-t)=×96,
∴t2-14t+24=0,
∴t1=2,t2=12(舍去),
∴當(dāng)t為2秒時(shí),△PBQ的面積是△ABC的面積的一半.

(2)當(dāng)t=2時(shí),HQ=6,BQ=12,BP=16,
∴BH=BQ=6,PH=16-6=10,
又∵在Rt△PQH中,PQ2=HQ2+PH2
∴PQ=
點(diǎn)評(píng):考查綜合應(yīng)用解直角三角形、直角三角形性質(zhì),進(jìn)行邏輯推理能力和運(yùn)算能力,在求P、Q兩點(diǎn)之間的距離時(shí)應(yīng)分兩種情況討論.
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A.
B.
C.
D.

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A.50
B.52
C.54
D.56

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