Question

【題目】如圖，梯形OABC中，O為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，A、B、C的坐標(biāo)分別為（14，0）、（14，3）、（4，3）．點(diǎn)P、Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，分別作勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位；點(diǎn)Q沿OC、CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)這兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)P從出發(fā)起運(yùn)動(dòng)了t秒．

（1）如果點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位，①試分別寫出這時(shí)點(diǎn)Q在OC上或在CB上時(shí)的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示，不要求寫出t的取值范圍）；

②求t為何值時(shí)，PQ∥OC？

（2）如果點(diǎn)P與點(diǎn)Q所經(jīng)過(guò)的路程之和恰好為梯形OABC的周長(zhǎng)的一半，①試用含t的代數(shù)式表示這時(shí)點(diǎn)Q所經(jīng)過(guò)的路程和它的速度；

②試問(wèn)：這時(shí)直線PQ是否可能同時(shí)把梯形OABC的面積也分成相等的兩部分？如有可能，求出相應(yīng)的t的值和P、Q的坐標(biāo)；如不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）①點(diǎn)Q在OC上時(shí)Q（t，t），點(diǎn)Q在CB上時(shí)Q（2t﹣1，3）；②t=5；（2）①v=，點(diǎn)Q所經(jīng)過(guò)的路程為（16﹣t）；②直線PQ不可能同時(shí)把梯形OABC的面積也分成相等的兩部分．

【解析】

試題分析：（1）①根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得點(diǎn)Q在OC上時(shí)的坐標(biāo)；根據(jù)路程即可求得點(diǎn)Q在CB上時(shí)的橫坐標(biāo)是（2t﹣5），縱坐標(biāo)和點(diǎn)C的縱坐標(biāo)一致，是3；

②顯然此時(shí)Q在CB上，由平行四邊形的知識(shí)可得，只需根據(jù)OP=CQ列方程求解；

（2）①設(shè)Q的速度為v，根據(jù)P與點(diǎn)Q所經(jīng)過(guò)的路程之和恰好為梯形OABC的周長(zhǎng)的一半，即可建立函數(shù)關(guān)系式；

②顯然Q應(yīng)在CB上，根據(jù)面積和①中的結(jié)論得到關(guān)于t的方程，進(jìn)行求解．

試題解析：（1）①點(diǎn)Q在OC上時(shí)Q（t，t），點(diǎn)Q在CB上時(shí)Q（2t﹣1，3）．

②顯然Q在CB上，由平行四邊形的知識(shí)可得，只須OP=CQ．所以2t﹣5=t得t=5．

（2）①設(shè)Q的速度為v，先求梯形的周長(zhǎng)為32，可得t+vt=16，所以v=，點(diǎn)Q所經(jīng)過(guò)的路程為（16﹣t）；

②當(dāng)Q在OC上時(shí)，做QM⊥OA，垂足為M，則QM=（16﹣t）×，∴S△OPQ=×（16﹣t）t=t（16﹣t）=S梯形OABC，則令t（16﹣t）=18，解得t1=10，t2=6，當(dāng)t1=10時(shí)，16﹣x=6，此時(shí)點(diǎn)Q不在OC上，舍去；當(dāng)t2=6時(shí)，16﹣x=10，此時(shí)點(diǎn)Q也不在OC上，舍去；∴當(dāng)Q點(diǎn)在OC上時(shí)，PQ不可能同時(shí)把梯形OABC的面積也分成相等的兩部分．

當(dāng)Q點(diǎn)在CB上時(shí)，CQ=16﹣t﹣5=11﹣x，∴S梯形OPQC=×（11﹣x+x）×3=≠18，∴當(dāng)Q點(diǎn)在CB上時(shí)，PQ不可能同時(shí)把梯形OABC的面積也分成相等的兩部分．

綜上所述，直線PQ不可能同時(shí)把梯形OABC的面積也分成相等的兩部分．