【題目】如圖,直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于A,B兩點,拋物線y=﹣x2+bx+c與直線y=c分別交y軸的正半軸于點C和第一象限的點P,連接PB,得△PCB≌△BOA(O為坐標原點).若拋物線與x軸正半軸交點為點F,設(shè)M是點C,F(xiàn)間拋物線上的一點(包括端點),其橫坐標為m.
(1)直接寫出點P的坐標和拋物線的解析式;
(2)當m為何值時,△MAB面積S取得最小值和最大值?請說明理由;
(3)求滿足∠MPO=∠POA的點M的坐標.
【答案】(1)點P的坐標為(3,4),拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4;(2)當m=0時,S取最小值,最小值為;當m=3時,S取最大值,最大值為5.(3)滿足∠MPO=∠POA的點M的坐標為(0,4)或(,).
【解析】(1)代入y=c可求出點C、P的坐標,利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點A、B的坐標,再由△PCB≌△BOA即可得出b、c的值,進而可得出點P的坐標及拋物線的解析式;
(2)利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征求出點F的坐標,過點M作ME∥y軸,交直線AB于點E,由點M的橫坐標可得出點M、E的坐標,進而可得出ME的長度,再利用三角形的面積公式可找出S=﹣(m﹣3)2+5,由m的取值范圍結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值及最小值;
(3)分兩種情況考慮:①當點M在線段OP上方時,由CP∥x軸利用平行線的性質(zhì)可得出:當點C、M重合時,∠MPO=∠POA,由此可找出點M的坐標;②當點M在線段OP下方時,在x正半軸取點D,連接DP,使得DO=DP,此時∠DPO=∠POA,設(shè)點D的坐標為(n,0),則DO=n,DP=,由DO=DP可求出n的值,進而可得出點D的坐標,由點P、D的坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線PD的解析式,再聯(lián)立直線PD及拋物線的解析式成方程組,通過解方程組求出點M的坐標.綜上此題得解.
(1)當y=c時,有c=﹣x2+bx+c,
解得:x1=0,x2=b,
∴點C的坐標為(0,c),點P的坐標為(b,c),
∵直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點,
∴點A的坐標為(1,0),點B的坐標為(0,3),
∴OB=3,OA=1,BC=c﹣3,CP=b,
∵△PCB≌△BOA,
∴BC=OA,CP=OB,
∴b=3,c=4,
∴點P的坐標為(3,4),拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4;
(2)當y=0時,有﹣x2+3x+4=0,
解得:x1=﹣1,x2=4,
∴點F的坐標為(4,0),
過點M作ME∥y軸,交直線AB于點E,如圖1所示,
∵點M的橫坐標為m(0≤m≤4),
∴點M的坐標為(m,﹣m2+3m+4),點E的坐標為(m,﹣3m+3),
∴ME=﹣m2+3m+4﹣(﹣3m+3)=﹣m2+6m+1,
∴S=OAME=﹣m2+3m+=﹣(m﹣3)2+5,
∵﹣<0,0≤m≤4,
∴當m=0時,S取最小值,最小值為;當m=3時,S取最大值,最大值為5;
(3)①當點M在線段OP上方時,∵CP∥x軸,
∴當點C、M重合時,∠MPO=∠POA,
∴點M的坐標為(0,4);
②當點M在線段OP下方時,在x正半軸取點D,連接DP,使得DO=DP,此時∠DPO=∠POA,
設(shè)點
∴n2=(n﹣3)2+16,
解得:n=,
∴點D的坐標為(,0),
設(shè)直線PD的解析式為y=kx+a(k≠0),
將P(3,4)、D(,0)代入y=kx+a,
,解得:,
∴直線PD的解析式為y=﹣x+,
聯(lián)立直線PD及拋物線的解析式成方程組,得:,
解得:,.
∴點M的坐標為(,).
綜上所述:滿足∠MPO=∠POA的點M的坐標為(0,4)或(,).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,∠BAC=45°,CD⊥AB,垂足為點D,M為線段DB上一動點(不包括端點),點N在直線AC左上方且∠NCM=135°,CN=CM,如圖①.
(1)求證:∠ACN=∠AMC;
(2)記△ANC得面積為5,記△ABC得面積為5.求證:;
(3)延長線段AB到點P,使BP=BM,如圖②.探究線段AC與線段DB滿足什么數(shù)量關(guān)系時對于滿足條件的任意點M,AN=CP始終成立?(寫出探究過程)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】解答下列各題
(1)如圖1,方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長的正方形,在建立平面直角坐標系后,△ABC的頂點均在格點上,點C的坐標為(4,﹣1).
①作出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1;
②如果P點的縱坐標為3,且P點到直線AA的距離為5,請直接寫出點P的坐標.
(2)我國是世界上嚴重缺水的國家之一為了倡導(dǎo)“節(jié)約用水,從我做起”,小麗同學(xué)在她家所在小區(qū)的200住戶中,隨機調(diào)查了10個家庭在2019年的月均用水量(單位:t),并將調(diào)查結(jié)果繪成了如下的條形統(tǒng)計圖2
①求這10個樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù);
②以上面的樣本平均數(shù)為依據(jù),自來水公司按2019年該小區(qū)戶月均用水量下達了2020年的用水計劃(超計劃要執(zhí)行階梯式標準收費)請計算該小區(qū)2020年的計劃用水量.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,在△ABC中,AB=AC,過AB上一點D作DE∥AC交BC于點E,以E為頂點,ED為一邊,作∠DEF=∠A,另一邊EF交AC于點F.
(1)求證:四邊形ADEF為平行四邊形;
(2)當點D為AB中點時,判斷ADEF的形狀;
(3)延長圖①中的DE到點G,使EG=DE,連接AE,AG,F(xiàn)G,得到圖②,若AD=AG,判斷四邊形AEGF的形狀,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】情境觀察:
如圖1,△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,CD⊥AB,AE⊥BC,垂足分別為D、E,CD與AE交于點F.
①寫出圖1中所有的全等三角形 ;
②線段AF與線段CE的數(shù)量關(guān)系是 .
問題探究:
如圖2,△ABC中,∠BAC=45°,AB=BC,AD平分∠BAC,AD⊥CD,垂足為D,AD與BC交于點E.
求證:AE=2CD.
拓展延伸:
如圖3,△ABC中,∠BAC=45°,AB=BC,點D在AC上,∠EDC= ∠BAC,DE⊥CE,垂足為E,DE與BC交于點F.求證:DF=2CE.
要求:請你寫出輔助線的作法,并在圖3中畫出輔助線,不需要證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知賣出的糖果數(shù)量x(kg)與售價y(元)的關(guān)系如下表:
數(shù)量x(kg) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
售價y(元) | 2+0.1 | 4+0.2 | 6+0.3 | 8+0.4 | 10+0.5 |
(1)這個表格反映了哪兩個變量之間的關(guān)系?它們的關(guān)系式是什么?
(2)若某顧客付了14.7元,則他購買了多少千克的糖果?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,BA=BC,以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E,BC的延長線于⊙O的切線AF交于點F.
(1)求證:∠ABC=2∠CAF;
(2)若AC=2,CE:EB=1:4,求CE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校計劃成立下列學(xué)生社團: A.合唱團: B.英語俱樂部: C.動漫創(chuàng)作社; D.文學(xué)社:E.航模工作室為了解同學(xué)們對上述學(xué)生社團的喜愛情況某課題小組在全校學(xué)生中隨機抽取了部分同學(xué),進行“你最喜愛的一個學(xué)生社團”的調(diào)查,根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計圖.
請根據(jù)以上信息,解決下列問題:
(1)本次接受調(diào)查的學(xué)生共有多少人;
(2)補全條形統(tǒng)計圖,扇形統(tǒng)計圖中D選項所對應(yīng)扇形的圓心角為多少;
(3)若該學(xué)校共有學(xué)生3000人,估計該學(xué)校學(xué)生中喜愛合唱團和動漫創(chuàng)作社的總?cè)藬?shù).
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