Question

【題目】如圖1，平面內(nèi)有一點到的三個頂點的距離分別為若有，則稱點為關(guān)于點的勾股點．

如圖2，在的方格紙中，每個小正方形的邊長均為的頂點在格點上，請找出所有的格點，使點為關(guān)于點的勾股點；

如圖3， 為等腰直角三角形，是斜邊延長線上一點，連接，以為直角邊作等腰直角三角形 (點順時針排列)，，連接 求證：點為關(guān)于點的勾股點；

如圖4，點是矩形外一點，且點是關(guān)于點的勾股點，若，求的長．

Answer 1

【答案】見解析；見解析；

【解析】

（1）如圖1，圖2，求出PA2，PB2，PC2，得到PC2+PB2=PA2，即得出點P是△ABC關(guān)于點A的勾股點；

（2）證明△ABD≌△ACP（SAS），得出BD=CP，∠ABD=∠ACP=135°，證明∠DBP=90°，則結(jié)論得證；

（3）由條件“點C是△ABE關(guān)于點A的勾股點”可得CE=CD=5，如圖3，過點E作MN⊥AB于點M，交DC的延長線于點N，設(shè)AM=DN=x，則CN=DN-CD=x-5，由勾股定理可得62-x2=52-（x-5）2，解得：x=，則求出AM，ME的長，則答案可得出．

（1）如圖1，

∵PA2=12+32=10，PB2=12+22=5，PC2=PB2=5，

∴PA2=PC2+PB2，

∴點P是△ABC關(guān)于點A的勾股點；

如圖2，

∵PA2=32+32=18，PB2=12+42=17，PC2=1，

∴PA2=PC2+PB2，

∴點P是△ABC關(guān)于點A的勾股點；

（2）∵△ABC和△APD為等腰直角三角形，

∴AB=AC，AD=AP，∠BAC=∠DAP=90°，

∴∠BAC-∠DAC=∠DAP-∠DAC，

即∠BAD=∠CAP，

∴△ABD≌△ACP（SAS），

∴BD=PC，∠ABD=∠ACP=135°，

∵∠ABC=45°，

∴∠DBP=∠ABD-∠ABC=135°-45°=90°，

∴BD2+PB2=PD2，

∴PC2+PB2=PD2，

∴點P為△BDC關(guān)于點D的勾股點．

（3）解：∵矩形ABCD中，AD=8，

∴AD=BC=8，CD=AB，

∵AD=DE，

∴DE=8，

∵點C是△ABE關(guān)于點A的勾股點，

∴AC2=CB2+CE2，

∵AC2=AB2+BC2，

∴CE=CD=5，

如圖3，過點E作MN⊥AB于點M，交DC的延長線于點N，

∴∠AME=∠MND=90°，

∴四邊形AMND是矩形，

∴MN=AD=8，AM=DN，

設(shè)AM=DN=x，則CN=DN-CD=x-5，

∵Rt△DEN中，EN2+DN2=DE2；Rt△CEN中，EN2+CN2=CE2，

∴DE2-DN2=CE2-CN2，

∴62-x2=52-（x-5）2

解得：x=，

∴，，

∴，

∴Rt△AME中，．