Question

【題目】已知：直線AD，BC被直線CD所截，AC為 ∠BAD的角平分線，∠1+∠BCD=180°．

求證：∠BCA=∠BAC．

Answer 1

【答案】證明見解析.

【解析】分析：方法1由∠5=∠BCD可證AD∥BC，再利用角平分線的定義即可求出結果；方法2由∠ADC+∠BCD=180°可證AD∥BC，再利用角平分線的定義即可求出結果.

本題解析：

證明：

方法1 ∵ AD是一條直線，

∴∠1+∠5=180° （平角的定義）或（鄰補角的定義）

∵ ∠1+∠BCD=180°（已知）

∴ ∠5=∠BCD（同角的補角相等）

∴ AD∥BC（同位角相等，兩直線平行）

∴ ∠4=∠3（兩直線平行，內錯角相等）

∵ AC為∠BAD的角平分線（已知）

∴ ∠2=∠4（角平分線的定義）

∴ ∠2=∠3（等量代換）即：∠BCA=∠BAC．

方法2 ∵ AD與CD交于點D，

∴ ∠1=∠ADC （對頂角相等）

∵ ∠1+∠BCD=180°（已知）

∴ ∠ADC+∠BCD=180°（等量代換）

∴ AD∥BC（同旁內角互補，兩直線平行）

∴ ∠4=∠3（兩直線平行，內錯角相等）

∵AC為∠BAD的角平分線（已知）

∴ ∠2=∠4（角平分線的定義）

∴ ∠2=∠3（等量代換）