Question

如圖，正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，過B作BG⊥AE于G，延長BG至點(diǎn)F使∠CFB=45°

（1）求證：AG=FG;
（2）延長FC、AE交于點(diǎn)M，連接DF、BM，若C為FM中點(diǎn)，BM=10，求FD的長.

Answer 1

（1）通過證明AG="BH" ，BH=HF+GH=FG，則AG=FG （2）

試題分析：（1）證明：過C點(diǎn)作CH⊥BF于H點(diǎn)

∵∠CFB=45°
∴CH=HF
∵∠ABG+∠BAG=90°，   ∠FBE+∠ABG=90°
∴∠BAG=∠FBE
∵AG⊥BF     CH⊥BF
∴∠AGB=∠BHC=90°
在△AGB和△BHC中
∵∠AGB=∠BHC，∠BAG=∠HBC，  AB=BC
∴△AGB≌△BHC
∴AG=BH，  BG=CH
∵BH=BG+GH
∴BH=HF+GH=FG
∴AG=FG
(2) ∵CH⊥GF∴CH∥GM∵C為FM的中點(diǎn)
∴CH=GM∴BG=GM∵BM=10
∴BG=，  GM=（1分）∴AG=   AB=10
∴HF=   ∴CF=×∴CM=
過B點(diǎn)作BK⊥CM于K

∵CK==，  ∴BK=
過D作DQ⊥MF交MF延長線于Q
∴△BKC≌△CQD
∴CQ=BK=
DQ=CK=∴QF=－=∴DF==
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形和正方形的知識(shí)，解本題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形和正方形的一些性質(zhì)，此題難度較大