Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+2x+c與y軸交于點(diǎn)A（0，6），與x軸交于點(diǎn)B（6，0），點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）求這條拋物線的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到拋物線的什么位置時(shí)，使得∠PAB=75°，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿線段AB上方的拋物線向終點(diǎn)B移動(dòng)，在移動(dòng)中，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度變動(dòng)，與此同時(shí)點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AO向終點(diǎn)O移動(dòng)，點(diǎn)P，M移動(dòng)到各自終點(diǎn)時(shí)停止，當(dāng)兩個(gè)移點(diǎn)移動(dòng)t秒時(shí)，求四邊形PAMB的面積S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并求t為何值時(shí)，S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：根據(jù)題意，把A（0，6），B（6，0）代入拋物線解析式可得 ，解得 ，

∴拋物線的表達(dá)式為y=﹣ x2+2x+6，

∵y=﹣ x2+2x+6=﹣ （x﹣2）2+8，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，8）

（2）

解：如圖1，過P作PC⊥y軸于點(diǎn)C，

∵OA=OB=6，

∴∠OAB=45°，

∴當(dāng)∠PAB=75°時(shí)，∠PAC=60°，

∴tan∠PAC= ，即 = ，

設(shè)AC=m，則PC= m，

∴P（ m，6+m），

把P點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式可得6+m=﹣ （ m）2+2 m+6，解得m=0或m= ﹣ ，

經(jīng)檢驗(yàn)，P（0，6）與點(diǎn)A重合，不合題意，舍去，

∴所求的P點(diǎn)坐標(biāo)為（4﹣ ， + ）

（3）

解：當(dāng)兩個(gè)支點(diǎn)移動(dòng)t秒時(shí)，則P（t，﹣ t2+2t+6），M（0，6﹣t），

如圖2，作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，則EF=EB=6﹣t，

∴F（t，6﹣t），

∴FP= t2+2t+6﹣（6﹣t）=﹣ t2+3t，

∵點(diǎn)A到PE的距離竽OE，點(diǎn)B到PE的距離等于BE，

∴S△PAB= FPOE+ FPBE= FP（OE+BE）= FPOB= ×（﹣ t2+3t）×6=﹣ t2+9t，且S△AMB= AMOB= ×t×6=3t，

∴S=S四邊形PAMB=S△PAB+S△AMB=﹣ t2+12t=﹣ （t﹣4）2+24，

∴當(dāng)t=4時(shí)，S有最大值，最大值為24

【解析】（1）由A、B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的表達(dá)式，化為頂點(diǎn)式可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過P作PC⊥y軸于點(diǎn)C，由條件可求得∠PAC=60°，可設(shè)AC=m，在Rt△PAC中，可表示出PC的長(zhǎng)，從而可用m表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得m的值，即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）用t可表示出P、M的坐標(biāo)，過P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，則可表示出F的坐標(biāo)，從而可用t表示出PF的長(zhǎng)，從而可表示出△PAB的面積，利用S四邊形PAMB=S△PAB+S△AMB ， 可得到S關(guān)于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值．