Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上，OA="16" cm，OC=8cm，現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從O、C同時(shí)出發(fā)，P在線段OA上沿OA方向以每秒2cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)，Q在線段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）用含t的式子表示△OPQ的面積S；
（2）判斷四邊形OPBQ的面積是否是一個(gè)定值，如果是，請求出這個(gè)定值；如果不是，請說明理由；
（3）當(dāng)△OPQ∽△ABP時(shí)，拋物線y＝x²+bx+c經(jīng)過B、P兩點(diǎn)，求拋物線的解析式；
（4）在（3）的條件下，過線段BP上一動(dòng)點(diǎn)M作軸的平行線交拋物線于N，求線段MN的最大值．

Answer 1

（1）；（2）是；（3）；（4）9

試題分析：（1）根據(jù)速度與時(shí)間的關(guān)系分別表示出CQ、OP、OQ的長度，然后利用三角形的面積公式列列式整理即可得解；
（2）用矩形OABC的面積減去△ABP與△BCQ的面積，根據(jù)面積公式分別列式進(jìn)行整理即可得解；
（3）根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式，然后代入數(shù)據(jù)求解即可得到t值，從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）先求出直線BP的解析式，然后根據(jù)直線解析式與拋物線解析式設(shè)出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離表示出MN的長度，根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答．
（1）∵CQ=t，OP=2t，CO=8，
∴OQ=8-t，


=128-64+8t-8t=64，
∴四邊形OPBQ的面積為一個(gè)定值，且等于64；
（3）當(dāng)△OPQ∽△ABP時(shí)，./

解得：t₁=2，t₂=8（舍去），
此時(shí)P（4，0），
∵B（16，8），
  
∴拋物線解析式是；
（4）設(shè)直線BP的解析式為y=kx+b
 

∴直線BP的解析式是

∵M(jìn)在BP上運(yùn)動(dòng)，
∴4≤m≤16，

∴當(dāng)時(shí)，MN有最大值是9．
點(diǎn)評：此類問題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．