如圖,四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形,點(diǎn)R為DE的中點(diǎn),BR分別交AC、CD于點(diǎn)P、Q.
(1)求證:△PCQ∽△RDQ;
(2)求BP:PQ:QR的值.
分析:(1)由四邊形ACED是平行四邊形,可得AC∥DE,又由平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似,即可證得:△PCQ∽△RDQ;
(2)由四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形,可證得△PBC∽△RBE,繼而可得
PC
RE
=
BC
BE
=
1
2
,PB=PR,又由點(diǎn)R為DE的中點(diǎn),△PCQ∽△RDQ,可得
PQ
QR
=
PC
DR
=
PC
RE
=
1
2
,繼而可求得BP:PQ:QR的值.
解答:(1)證明:∵四邊形ACED是平行四邊形,
∴AC∥DE,
∴△PCQ∽△RDQ;

(2)解:∵四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形,
∴BC=AD=CE,AC∥DE,
∴△PBC∽△RBE,
PB
PR
=
BC
CE
PC
RE
=
BC
BE
=
1
2
,
∴RB=2PB,
∵點(diǎn)R為DE的中點(diǎn),△PCQ∽△RDQ,
PQ
QR
=
PC
DR
=
PC
RE
=
1
2
,
∴QR=2PQ,
∵BP=PR=PQ+QR=3PQ,
∴BP:PQ:QR=3:1:2.
點(diǎn)評:此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì).此題難度較大,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
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如圖,四邊形ABCD的對角線AC與BD互相垂直平分于點(diǎn)O,設(shè)AC=2a,BD=2b,請推導(dǎo)這個(gè)四邊形的性質(zhì).(至少3條)
(提示:平面圖形的性質(zhì)通常從它的邊、內(nèi)角、對角線、周長、面積等入手.)

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如圖,四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作直線交AD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F.若PE=PF,且AP+AE=CP+CF.
(1)求證:PA=PC.
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如圖,四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),∠AEF=90°,EF交正方形外角的平分線CF于F.

(I)求證:AE=EF;
(Ⅱ)若將條件中的“點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)”改為“E是BC上任意一點(diǎn)”,其余條件不變,則結(jié)論AE=EF還成立嗎?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.

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