【題目】請(qǐng)閱讀下列材料:

問題:如圖1,ABC,ACB=90°,AC=BC,MN是過點(diǎn)A的直線,DBMN于點(diǎn)D,聯(lián)結(jié)CD.求證:BD+AD= CD.

小明的思考過程如下:要證BD+AD=CD,需要將BD,AD轉(zhuǎn)化到同一條直線上,可以在MN上截取AE=BD,并聯(lián)結(jié)EC,可證△ACE和△BCD全等,得到CE=CD,且∠ACE=BCD,由此推出△CDE為等腰直角三角形,可知DE=CD,于是結(jié)論得證。

小聰?shù)乃伎歼^程如下:要證BD+AD=CD,需要構(gòu)造以CD為腰的等腰直角三角形,可以過點(diǎn)CCECDMN于點(diǎn)E,可證△ACE和△BCD全等,得到CE=CD,AE=BD,由此推出△CDE為等腰直角三角形,可知DE=CD,于是結(jié)論得證。

請(qǐng)你參考小明或小聰?shù)乃伎歼^程解決下面的問題:

(1)將圖1中的直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2和圖3的兩種位置時(shí),其它條件不變,猜想BD,ADCD之間的數(shù)量關(guān)系,并選擇其中一個(gè)圖形加以證明;

(2)在直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中,當(dāng)∠BCD=30°,BD=時(shí),CD=___.

【答案】1BDAD=CD.,證明見解析;(2±1.

【解析】

1)過點(diǎn)CCECB于點(diǎn)C,與MN交于點(diǎn)E,證明△ACE≌△DCB,則△ECB為等腰直角三角形,據(jù)此即可得到BE=CB,根據(jù)BE=AB-AE即可證得;

2)過點(diǎn)BBHCD于點(diǎn)H,證明△BDH是等腰直角三角形,求得DH的長(zhǎng),在直角△BCH中,利用直角三角形中30°的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半,即可求得.

1)如圖2,過點(diǎn)CCECDMN于點(diǎn)E,則∠2=90°.

∵∠ACB=90°,∴∠2+ACD=ACB+ACD,

即∠ACE=BCD.

設(shè)ACBD相交于點(diǎn)F,DBMN,∴∠ADB=90°.

∴∠CAE+AFD=90°,1+BFC=90°.

∵∠AFD=BFC,∴∠CAE=1.

在△ACE和△BCD

,

∴△ACE≌△BCD(ASA).

CE=CD,AE=BD.

RtCDE,CD +CE=DE,

2CD=DE,DE=CD.

DE=AEAD=BDAD,BDAD=CD.

(2)MN在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中,這個(gè)的意思并沒有指明是哪種情況,

∴綜合了第一個(gè)圖和第二個(gè)圖兩種情況

若是第1個(gè)圖:易證△ACE≌△DCB,CE=CD,

∴△ECD為等腰直角三角形,

∴∠AEC=45°=CBD

DDHCB.則△DHB為等腰直角三角形。

BD=BH

BH=DH=1

直角三角形△CDH中,

DCH=30°

BH=1,CH= .

CD=+1

若是第二個(gè)圖:過BBHCDCD延長(zhǎng)于H.

解法類似上面,CH=,DH=1,CD=1.

故答案為:±1.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)根據(jù)圖中的規(guī)律,第4個(gè)正方形內(nèi)圓的個(gè)數(shù)是   ,第n個(gè)正方形內(nèi)圓的個(gè)數(shù)是   

2)如果把正方形內(nèi)除去圓的部分都涂上陰影.

①用含a的代數(shù)式分別表示第1個(gè)正方形中和第3個(gè)正方形中陰影部分的面積.(結(jié)果保留π

②若a10,請(qǐng)直接寫出第2014個(gè)正方形中陰影部分的面積   .(結(jié)果保留π

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【題目】閱讀下面的計(jì)算程序,并回答問題.

1)填寫表格

輸入

輸出答案

_____

_____

_____

_____

2)請(qǐng)寫出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律;

3)用簡(jiǎn)要過程說明你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律的正確性.

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(1)求乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需的天數(shù);

(2)求兩隊(duì)合作完成這項(xiàng)工程所需的天數(shù).

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1)在數(shù)陣中任意做一類似于圖中的框,設(shè)其中最小的數(shù)為x,那么其他3個(gè)數(shù)怎樣表示?

2)如果這四個(gè)數(shù)的和是172,能否求出這四個(gè)數(shù)?

3)如果擴(kuò)充數(shù)陣的數(shù)據(jù),框中的四個(gè)數(shù)的和可以是2019嗎?為什么?

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1)如圖1,已知點(diǎn)A、BC,直線ll上一點(diǎn)M,請(qǐng)你按照下列要求畫出圖形.

畫射線BM

畫線段AC

請(qǐng)?jiān)谥本l上確定一點(diǎn)O,使點(diǎn)O到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離之和(OA+OB)最小

2)有5個(gè)大小一樣的正方形制成的如圖2所示的拼接圖形(陰影部分),請(qǐng)你在圖中的拼接圖形上再接一個(gè)正方形,使新拼接成的圖形經(jīng)過折疊后能成為一個(gè)封閉的正方體盒子.(只需添加一個(gè)符合要求的正方形即可,并用陰影表示)

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