Question

9．如圖所示，拋物線y=x²-4x+3與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，
（1）求cos∠CAO的值；
（2）求直線AC的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如果有動(dòng)點(diǎn)P是y軸上，且△OPA與△OAC相似，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線y=x²-4x+3與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，可以求得A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可以求得OA、OC、AC的長(zhǎng)，進(jìn)而可以得到cos∠CAO的值；
（2）根據(jù)點(diǎn)A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可以求得直線AC的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)第三問的條件，可知符合要求的三角形OPA存在三種情況，然后分別畫出相應(yīng)的圖形，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²-4x+3與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，
∴x²-4x+3=0，得x=1或x=3，x=0時(shí)，y=3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），
∴OA=1，OC=3，
∴$AC=\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}=\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{10}$，
∴cos∠CAO=$\frac{OA}{AC}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$；
（2）設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$
解得k=-3，b=3．
即直線AC的解析式為：y=-3x+3；
（3）如果有動(dòng)點(diǎn)P是y軸上，且△OPA與△OAC相似，
則有如下三種情況，
第一種情況如下圖1所示，

當(dāng)∠OPA=∠OCA，∠AOC=∠AOP時(shí)，△OPA∽△OAC，
∴$\frac{OC}{OP}=\frac{OA}{OA}$，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），
∴OP=OC=3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-3）；
第二種情況如下圖2所示，點(diǎn)P位于y軸正半軸，

當(dāng)∠OPA=∠OAC，∠AOC=∠AOP時(shí)，△OPA∽△OAC，
∴$\frac{OP}{OA}=\frac{OA}{OC}$，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），
∴OA=1，OC=3，
∴$OP=\frac{1}{3}$，
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，$\frac{1}{3}$）；
第三種情況如下圖3所示，點(diǎn)P位于y軸負(fù)半軸，

當(dāng)∠OPA=∠OAC，∠AOC=∠AOP時(shí)，△OPA∽△OAC，
∴$\frac{OP}{OA}=\frac{OA}{OC}$，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），
∴OA=1，OC=3，
∴$OP=\frac{1}{3}$，
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-$\frac{1}{3}$）．
由上可得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，-3），（0，$\frac{1}{3}$），（0，-$\frac{1}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、銳角三角函數(shù)值、直線的解析式、三角形的相似，解題的關(guān)鍵是明確題意，可以求出相應(yīng)的銳角三角函數(shù)，根據(jù)兩點(diǎn)求出相應(yīng)的函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想解答問題．