Question

在直角坐標(biāo)平面中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù)y=-x²-2x+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D、C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱．
（1）求四邊形ABCD的面積；
（2）在y軸上找一點(diǎn)P，使△ABP是直角三角形，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)y=0，解一元二次方程求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，令x=0，求出C的坐標(biāo)，從而求出D的坐標(biāo)，由題意可得四邊形ABCD為梯形，利用梯形的面積公式求出四邊形ABCD的面積；
（2）依AB為直徑畫圓，所畫圓于y軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，有射影定理（或三角形相似）即可求出P的坐標(biāo)．
解答：解：（1）設(shè)y=0，則y=-x²-2x+3=0，
解得：x=-3或1，
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
∴A（-3，0），B（1，0），
設(shè)x=0，則y=3，
∴C（0，3），
∵拋物線的對稱軸為x=-=-1，
∴D（-2，3），
∵點(diǎn)D、C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，
∴四邊形ABCD為梯形，
∴S_ABCD===6；
（2）如圖所示：依AB為直徑畫圓，交y軸于點(diǎn)P，
∵AB為圓的直徑，
∴∠APB=90°，
∴三角形APC是直角三角形，
∵OP⊥AB，
∴OP²=AO•BO=3×1=3，
∴OP=，
∴點(diǎn)P（0，）或（0，-）．
點(diǎn)評：本題考查了拋物線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)以及梯形的面積公式以及圓周角定理，此題綜合性很強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．