Question

已知拋物線y=x²+kx+2k-4
（1）當(dāng)k=2時(shí)，求出此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求證：無論k為任何實(shí)數(shù)，拋物線都與x軸有交點(diǎn)，且經(jīng)過x軸一定點(diǎn)；
（3）已知拋物線與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點(diǎn)（A在B的左邊），|x₁|＜|x₂|，與y軸交于C點(diǎn)，且S_△ABC=15．問：過A，B，C三點(diǎn)的圓與該拋物線是否有第四個(gè)交點(diǎn)？試說明理由．如果有，求出其坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）當(dāng)k=2時(shí)，拋物線為y=x²+2x，
配方：y=x²+2x=x²+2x+1-1
得y=（x+1）²-1，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1）．（也可由頂點(diǎn)公式求得）

（2）令y=0，有x²+kx+2k-4=0，
此一元二次方程根的判別式
△=k²-4•（2k-4）=k²-8k+16=（k-4）²，
∵無論k為什么實(shí)數(shù)，（k-4）²≥0，
方程x²+kx+2k-4=0都有解，
即拋物線總與x軸有交點(diǎn)．
由求根公式得x=，
當(dāng)k≥4時(shí)，x=，x₁==-2，x₂==-k+2；
當(dāng)k＜4時(shí)，x=，x₁==-k+2，x₂==-2．
即拋物線與x軸的交點(diǎn)分別為（-2，0）和（-k+2，0），
而點(diǎn)（-2，0）是x軸上的定點(diǎn)．

（3）過A，B，C三點(diǎn)的圓與該拋物線有第四個(gè)交點(diǎn)．設(shè)此點(diǎn)為D．
∵|x₁|＜|x₂|，C點(diǎn)在y軸上，由拋物線的對(duì)稱，可知點(diǎn)C不是拋物線的頂點(diǎn)．
由于圓和拋物線都是軸對(duì)稱圖形，過A、B、C三點(diǎn)的圓與拋物線組成一個(gè)軸對(duì)稱圖形．
∵x軸上的兩點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴過A、B、C三點(diǎn)的圓與拋物線的第四個(gè)交點(diǎn)D應(yīng)與C點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱．
由拋物線與x軸的交點(diǎn)分別為（-2，0）和（-k+2，0）：
當(dāng)-2＜-k+2，即k＜4時(shí)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），B為（-k+2，0）．
即x₁=-2，x₂=-k+2．
由|x₁|＜|x₂|得-k+2＞2，解得k＜0．
根據(jù)S_△ABC=15，得AB•OC=15．
AB=-k+2-（-2）=4-k，
OC=|2k-4|=4-2k，
∴（4-k）（4-2k）=15，
化簡(jiǎn)整理得k²-6k-7=0，
解得k=7（舍去）或k=-1．
此時(shí)拋物線解析式為y=x²-x-6，
其對(duì)稱軸為x=，C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-6），它關(guān)于x=的對(duì)稱點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，-6）；
當(dāng)-2＞-k+2，由A點(diǎn)在B點(diǎn)左邊，知A點(diǎn)坐標(biāo)為（-k+2，0），B為（-2，0）．
即x₁=-k+2，x₂=-2．
但此時(shí)|x₁|＞|x₂|，這與已知條件|x₁|＜|x₂|不相符，
∴不存在此種情況．
故第四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-6）．（如圖）
分析：（1）首先由k值確定拋物線的解析式，通過配方即可得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）此題需要證明兩點(diǎn)：①“無論k為任何實(shí)數(shù)，拋物線都與x軸有交點(diǎn)”．那么令拋物線的函數(shù)值為0，在所得方程中，證明根的判別式為非負(fù)數(shù)即可；
②“經(jīng)過x軸一定點(diǎn)”．證明這一點(diǎn)方法較多，如：可由求根公式求出兩根，或通過因式分解求出兩根，觀察兩根的特點(diǎn)即可得出結(jié)論．
（3）首先判斷是否存在第四個(gè)交點(diǎn)，由題干條件|x₁|＜|x₂|，顯然拋物線的對(duì)稱軸不是y軸，即C點(diǎn)不可能是拋物線的頂點(diǎn)（因?yàn)辄c(diǎn)C不在拋物線的對(duì)稱軸上），由于拋物線和圓都是軸對(duì)稱圖形，那么必然存在第四個(gè)交點(diǎn)，所以解題的關(guān)鍵就轉(zhuǎn)化為如何求k的值，可以從△ABC的面積入手．
首先，要求出AB和OC的長(zhǎng)，由（2）已求得A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)|x₁|＜|x₂|，先得到k的取值范圍，進(jìn)而通過△ABC的面積求出k的值，代入拋物線的解析式中即可明確拋物線的對(duì)稱軸方程，而C、D（設(shè)點(diǎn)D是第四個(gè)交點(diǎn)）關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)就顯而易見了．
點(diǎn)評(píng)：該題的難度較大，主要涉及了：二次函數(shù)與圓的性質(zhì)、二次函數(shù)與方程的關(guān)系以及不等式的應(yīng)用等綜合知識(shí)．最后一題中，k的取值范圍的確定是本題的難點(diǎn)所在．