Question

已知一次函數(shù)y1=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y2= 的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)分別為(—2，4)、（4，—2）。

（1）求兩個(gè)函數(shù)的解析式；

（2）結(jié)合圖象寫(xiě)出y1＜y2時(shí)，x的取值范圍；

（3）求△AOB的面積；

（4）是否存在一點(diǎn)P，使以點(diǎn)A﹑B﹑O﹑P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，求出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

（1）y=-，y=-x+2；（2）-2＜x＜0或x＞4．（3）6；（4）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，2）．

【解析】

試題分析：（1）直接利用待定系數(shù)法可分別求得兩個(gè)函數(shù)的解析式；

（2）利用（1）中的解析式聯(lián)立方程組，即可求得交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖形可寫(xiě)出x的取值范圍；

（3）把△AOB的面積分為兩部分，即S△AOB=S△AOC+S△BOC；

（4）利用菱形的性質(zhì)，根據(jù)線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)是兩個(gè)端點(diǎn)橫坐標(biāo)的和的一半，縱坐標(biāo)也是兩個(gè)端點(diǎn)縱坐標(biāo)和的一半，即可求解．

試題解析：（1）分別把點(diǎn)A（-2，4），點(diǎn)B（4，-2）代入解析式中，得

k=-8，即雙曲線解析式為y=-

解得

∴直線解析式為y=-x+2；

（2）當(dāng)-x+2=-時(shí)，

整理，得

x2-2x-8=0

解得x1=-2，x2=4

即點(diǎn)A（-2，4），點(diǎn)B（4，-2）

當(dāng)y1＜y2時(shí)，-2＜x＜0或x＞4．

（3）當(dāng)x=0時(shí)，y=-x+2=2，即OC=2

∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6．

（4）存在．

若四邊形OAPB是菱形，則AB，OP互相垂直平分，即點(diǎn)M既是AB的中點(diǎn)，又是OP的中點(diǎn)．

∵點(diǎn)A是（-2，4），點(diǎn)B是（4，-2）

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（1，1）

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，2）．

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題．