Question

（2013•巴中）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠B．
（1）求證：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6

3

，AF=4

3

，求AE的長．

Answer 1

分析：（1）利用對應(yīng)兩角相等，證明兩個(gè)三角形相似△ADF∽△DEC；
（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出線段DE的長度；然后在在Rt△ADE中，利用勾股定理求出線段AE的長度．

解答：（1）證明：∵?ABCD，∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C．
在△ADF與△DEC中，

∠AFD=∠C ∠ADF=∠DEC

∴△ADF∽△DEC．

（2）解：∵?ABCD，∴CD=AB=8．
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴

AD

DE

=

AF

CD

，∴DE=

AD•CD

AF

=

6 3 ×8

4 3

=12．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=

DE2-AD2

=

122-(6 3 )2

=6．

點(diǎn)評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理三個(gè)知識(shí)點(diǎn)．題目難度不大，注意仔細(xì)分析題意，認(rèn)真計(jì)算，避免出錯(cuò)．