Question

【題目】已知：如圖，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（1，﹣2），直線y=kx+m的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），B點(diǎn)在y軸上．點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B不重合），過點(diǎn)P且垂直于x軸的直線與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求線段PE的長（用含x 的代數(shù)式表示）；

（3）點(diǎn)D為直線AB與這個(gè)二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸的交點(diǎn)，若以點(diǎn)P、E、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=（x﹣1）2﹣2；（2）PE=﹣x2+x；（3）P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，）或（1+，﹣1）．

【解析】

(1)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式.(2)先求出直線AB方程，再求出PE長.(3)利用相似的性質(zhì)，列比例式，再代入，解方程，可求出P點(diǎn)坐標(biāo).

（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x﹣1）2﹣2，

∵A（3，0）在拋物線上，

∴0=a（3﹣1）2﹣2

∴a=，

∴y=（x﹣1）2﹣2，

（2）拋物線與y軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，），

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+m，

∴,

∴,

∴直線AB的解析式為y=.

∵P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（x， x﹣.）．（0＜x＜3）

由題意可知PE∥y軸，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2﹣x﹣），

∵0＜x＜3，

∴PE=（.）﹣（x2﹣x﹣）=﹣x2+.

（3）由題意可知D點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=1，又D點(diǎn)在直線AB上，

∴D點(diǎn)坐標(biāo)（1，﹣1）．

當(dāng)∠EDP=90°時(shí)，△AOB∽△EDP，

∴.

過點(diǎn)D作DQ⊥PE于Q，

∴xQ=xP=x，yQ=﹣1，

∴△DQP∽△AOB∽△EDP，

∴,

又OA=3，OB=，AB=,

又DQ=x﹣1，

∴DP=（x﹣1），

∴,

解得：x=﹣1±（負(fù)值舍去）．

∴P（﹣1，）（如圖中的P1點(diǎn)）；

②當(dāng)∠DEP=90°時(shí)，△AOB∽△DEP，

∴.

由（2）PE=﹣x2+.，DE=x﹣1，

∴

解得：x=1±，（負(fù)值舍去）．

∴P（1+，﹣1）（如圖中的P2點(diǎn)）；

綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，）或（1+，﹣1）．