(1997•吉林)已知:直線y=-
3
3
x+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),以AB為邊在第一象限內(nèi)作正三角形ABC,⊙O′為△ABC的外接圓,與x軸交于另一點(diǎn)E.
(1)求C點(diǎn)坐標(biāo).
(2)求過點(diǎn)C與AB中點(diǎn)D的一次函數(shù)的解析式.
(3)求過E、O′、A三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式.
分析:(1)先根據(jù)直線y=-
3
3
x+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),在Rt△ABO中,根據(jù)勾股定理求出AB的長,故可得出tan∠BAO的值,可得出∠BAO的度數(shù),判斷出△ABC的形狀,由平行線的判定定理得出CA∥OB,由此即可得出C點(diǎn)坐標(biāo);
(2)過D作DF∥OB,交OA于F,由點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)可求出D點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)過C、D兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為y=kx+b(k≠0),再把C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出此函數(shù)的解析式;
(3)過點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H,根據(jù)△ABC是等邊△,可知BH是AC的垂直平分線,BH過點(diǎn)O′,故點(diǎn)B與點(diǎn)O′
的縱坐標(biāo)相等,故可得出O′的坐標(biāo),再由CA∥BO,BH⊥AC可知BH⊥OB且過⊙O′半徑的外端,故可得出OB是⊙O′的切線,由切線長定理可得OB2=OE•OA,進(jìn)而可求出OE的長,故可得出E點(diǎn)坐標(biāo),
設(shè)過E、O′、A三點(diǎn)的拋物線為y=ax2+bx+c(a≠0),將三點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出abc的值,故可得出結(jié)論.
解答:解:(1)∵直線y=-
3
3
x+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),
∴A(
3
,0),B(0,1),
在Rt△ABO中,
∵AB=
OA2+OB2
=2,
∴tan∠BAO=
1
3
=
3
3
,
∴∠BAO=30°
又∵△ABC是等邊三角形
∴AC=AB=2,∠BAC=60°,
∴∠OAC=90°
∴CA∥OB,
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(
3
,2);

(2)∵D是AB的中點(diǎn),過D作DF∥OB,交OA于F,
則DF=
1
2
OB=
1
2
,OF=
1
2
OA=
3
2

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(
3
2
,
1
2
),
設(shè)過C、D兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為y=kx+b(k≠0),
3
k+b=0
3
2
k+b=
1
2
,解得
k=
3
b=-1
,
∴所求一次函數(shù)的解析式為y=
3
x-1;

(3)過點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H,
∵△ABC是等邊△,
∴BH是AC的垂直平分線,
∴BF過點(diǎn)O′,
∵B(0,1),
∴當(dāng)y=1時(shí),x=
2
3
3

∴O′(
2
3
3
,1),
∵CA∥BO,BH⊥AC,
∴BH⊥OB,且過⊙O′半徑的外端,
∴OB是⊙O′的切線,
∴OB2=OE•OA,即1=OE•
3
,解得OE=
3
3
,
∴E(
3
3
,0),
設(shè)過E、O′、A三點(diǎn)的拋物線為y=ax2+bx+c,將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得
3a+
3
b+c=0
4
3
a+
2
3
b
3
+c=1
1
3
a+b+c=0


解得
a=-3
b=4
3
c=-3

∴所求二次函數(shù)的解析式為y=-3x2+4
3
x-3.
點(diǎn)評:本題考查的是一次函數(shù)綜合題,涉及到等邊三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式等知識,難度適中.
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