Question

（2013•濱湖區(qū)一模）如圖，AB是半圓O的直徑，AB=10，過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)交半圓于點(diǎn)C，且AC=6，連結(jié)BC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)．已知點(diǎn)E在直線(xiàn)AC上，△CDE與△ACB相似，則線(xiàn)段AE的長(zhǎng)為

3或

2

3

或9或

34

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)E點(diǎn)在直線(xiàn)AC上，得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)不同求出的EC長(zhǎng)度不同，分別得出即可．

解答：解：∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AB=10，AC=6，
∴BC=

102-62

=8，
∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，
∴CD=4，
當(dāng)DE∥AB時(shí)，
△CED∽△CAB，
∴

CE

AC

=

CD

BC

，
∴

EC

6

=

4

8

，
解得：EC=3，
∴AE=6-EC=3，
當(dāng)

CD

AC

=

CE′

CB

，且∠ACB=∠DCE′時(shí)，△CE′D∽△CBA，
則

4

6

=

CE′

8

，
解得：CE′=

16

3

，
∴AE′=6-

16

3

=

2

3

；
當(dāng)

CD

AC

=

CE1

BC

，且∠ACB=∠DCE₁時(shí)，△CE₁D∽△CBA，
則

4

6

=

CE1

8

，
解得：CE₁=

16

3

，
∴AE₁=6+

16

3

=

34

3

；
當(dāng)

CD

BC

=

E″C

AC

，且∠ACB=∠DCE″時(shí)，△CE″D∽△CBA，
則

4

8

=

E″C

6

，
解得：CE″=3，
∴AE″=6+3=9；
綜上所述：點(diǎn)E在直線(xiàn)AC上，△CDE與△ACB相似，則線(xiàn)段AE的長(zhǎng)為3或

2

3

或9或

34

3

．
故答案為：3或

2

3

或9或

34

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，注意在直線(xiàn)AC上有一點(diǎn)E，進(jìn)行分類(lèi)討論得出是解題關(guān)鍵．