Question

已知關(guān)于x的方程kx²-（2k-1）x+k-1=0（k為整數(shù)）的根為正整數(shù)，如圖，梯形ABCO的底邊AO在x軸上，BC∥AO，AB⊥AO，過(guò)點(diǎn)C的雙曲線y=

1-k

x

交OB于D，且OD：DB=1：2，求△OBC的面積．

Answer 1

分析：分類討論：當(dāng)k=0，方程變形為：x-1=0，解得x=1；當(dāng)k≠0，先運(yùn)用因式分解法解一元二次方程得到x₁=

k-1

k

，x₂=1，由于關(guān)于x的方程kx²-（2k-1）x+k-1=0（k為整數(shù)）的根為整數(shù)，則由x₁=

k-1

k

=1-

1

k

得到k=±1，k=1此時(shí)1-k=0舍去，k=-1時(shí)，得到雙曲線的解析式為y=

2

x

，進(jìn)而求出k=0時(shí)，y=

1

x

，設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），易得B點(diǎn)坐標(biāo)為（3a，3b），然后根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算得出即可．

解答：解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AO于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BC于點(diǎn)E，
當(dāng)k=0，方程變形為：x-1=0，解得x=1；
當(dāng)k≠0，
∵[kx-（k-1）]（x-1）=0，
∴x₁=

k-1

k

，x₂=1，
∵關(guān)于x的方程kx²-（2k-1）x+k-1=0（k為整數(shù)）的根為整數(shù)，
而x₁=

k-1

k

=1-

1

k

，
∴k=±1，
∵當(dāng)k=1時(shí)，1-k=0，此時(shí)雙曲線y=

1-k

x

系數(shù)為0，不合題意舍去，
當(dāng)k=-1時(shí)，1-k=2，
∴綜上所述：k=0，或k=-1，
∴雙曲線的解析式為y=

1

x

或y=

2

x

，
當(dāng)雙曲線的解析式為y=

1

x

，
設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），
∵DE∥AB，OD：DB=1：2，
∴

DE

AB

=

OE

OA

=

1

3

，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：（3a，3b），
∴S_△OBE=

1

2

×3a×3b=

9ab

2

，
∵S_△OCE=

1

2

CE×EO=

1

2

，
S_△DOE=

1

2

DE×EO=

ab

2

=

1

2

，
∴S_△OBE=

9ab

2

=

9

2

，
∴S_△OBC=S_△OBE-S_△OCE=

9

2

-

1

2

=4．

當(dāng)雙曲線的解析式為y=

2

x

，
有以上可得：∵S_△OCE=

1

2

CE×EO=1，
S_△DOE=

1

2

DE×EO=

ab

2

=1，
∴S_△OBE=

9ab

2

=9，
∴S_△OBC=S_△OBE-S_△OCE=9-1=8．
綜上所述：當(dāng)k=0時(shí)△OBC的面積為4，當(dāng)k=-1時(shí)△OBC的面積為8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)綜合題以及運(yùn)用因式分解法解一元二次方程和三角形面積求法等知識(shí)；利用分類討論的思想方法得出k的值是解題關(guān)鍵．