【題目】二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,對稱軸為x=1,給出下列結論:①abc>0;②當x>2時,y>0;③3a+c>0;④3a+b>0.其中正確的結論有( )
A.①②
B.①④
C.①③④
D.②③④
【答案】C
【解析】解:∵二次函數的圖象的開口向上,
∴a>0,
∵二次函數的圖象y軸的交點在y軸的負半軸上,
∴c<0,
∵二次函數圖象的對稱軸是直線x=1,
∴﹣ =1,
∴2a+b=0,b<0,
∴abc>0,∴①正確;
∵二次函數y=ax2+bx+c圖象可知,當x>2時,y有小于0的情況,
∴②錯誤;
∵當x=﹣1時,y>0,
∴a﹣b+c>0,
把b=﹣2a代入得:3a+c>0,
∴③正確;
∵二次函數圖象的對稱軸是直線x=1,
∴﹣ =1,
∴2a+b=0,
∵a>0,
∴3a+b>0,故④正確.
故選C.
【考點精析】掌握二次函數圖象以及系數a、b、c的關系和拋物線與坐標軸的交點是解答本題的根本,需要知道二次函數y=ax2+bx+c中,a、b、c的含義:a表示開口方向:a>0時,拋物線開口向上; a<0時,拋物線開口向下b與對稱軸有關:對稱軸為x=-b/2a;c表示拋物線與y軸的交點坐標:(0,c);一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標.因此一元二次方程中的b2-4ac,在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點.當b2-4ac>0時,圖像與x軸有兩個交點;當b2-4ac=0時,圖像與x軸有一個交點;當b2-4ac<0時,圖像與x軸沒有交點.
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【題目】如圖,點A、B、D、E在⊙O上,弦AE、BD的延長線相交于點C.若AB是⊙O的直徑,D是BC的中點.
(1)試判斷AB、AC之間的大小關系,并給出證明;
(2)在上述題設條件下,當△ABC為正三角形時,點E是否AC的中點?為什么?
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【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A(1,0),B(﹣3,0)兩點.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)設(1)中的拋物線交y軸與C點,在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使得△QAC的周長最。咳舸嬖,求出Q點的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)在(1)中的拋物線上的第二象限上是否存在一點P,使△PBC的面積最大?若存在,求出點P的坐標及△PBC的面積最大值;若沒有,請說明理由.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠B=∠C,AB=10 cm,BC=8 cm,D為AB的中點,點P在線段上以3 cm/s的速度由點B向點C運動,同時,點Q在線段CA上以相同速度由點C向點A運動,一個點到達終點后另一個點也停止運動.當△BPD與△CQP全等時,求點P運動的時間.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,將△ABC繞點C順時針旋轉60°至△A′B′C,點A的對應點A′恰好落在AB上,求BB′的長.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD交于點E,DF⊥AC于F點,若∠ADF=3∠FDC,則∠DEC的度數是( 。
A. 30° B. 45° C. 50° D. 55°
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【題目】如圖,已知△ABC中,AB=AC=cm,∠BAC=120°,點P在BC上從C向B運動,點Q在AB、AC上沿B→A→C運動,點P、Q分別從點C、B同時出發(fā),速度均為1cm/s,當其中一點到達終點時兩點同時停止運動,則當運動時間t=_____s時,△PAQ為直角三角形.
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