（2013•永州）如圖，已知AB⊥BD，CD⊥BD
（1）若AB=9，CD=4，BD=10，請問在BD上是否存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似？若存在，求BP的長；若不存在，請說明理由；
（2）若AB=9，CD=4，BD=12，請問在BD上存在多少個P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似？并求BP的長；
（3）若AB=9，CD=4，BD=15，請問在BD上存在多少個P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似？并求BP的長；
（4）若AB=m，CD=n，BD=l，請問m，n，l滿足什么關系時，存在以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似的一個P點？兩個P點？三個P點？
分析：（1）存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，設BP=x，根據(jù)∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出當
AB
CD
=
BP
PD
或
AB
PD
=
BP
CD
時，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，代入求出即可；
（2）存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，設BP=x，根據(jù)∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出當
AB
CD
=
BP
PD
或
AB
PD
=
BP
CD
時，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，代入求出即可；
（3）存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，設BP=x，根據(jù)∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出當
AB
CD
=
BP
PD
或
AB
PD
=
BP
CD
時，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，代入求出即可；
（4）存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，設BP=x，根據(jù)∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出當
AB
CD
=
BP
PD
或
AB
PD
=
BP
CD
時，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，代入后根據(jù)根的判別式進行判斷即可．
解答：解：（1）存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，
理由是：設BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴當
AB
CD
=
BP
PD
或
AB
PD
=
BP
CD
時，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，
∴①
9
4
=
x
10-x
或②
9
10-x
=
x
4
，
解方程①得：x=
90
13
，
方程②得：x（10-x）=36，
x2-10x+36=0，
△=（-10）2-4×1×36＜0，此方程無解，
∴當BP=
90
13
時，以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，
∴存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，此時BP的值為
90
13
；

（2）在BD上存在2個P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，
理由是：設BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴當
AB
CD
=
BP
PD
或
AB
PD
=
BP
CD
時，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，
∴①
9
4
=
x
12-x
或②
9
12-x
=
x
4
，
解方程①得：x=
108
13
，
方程②得：x（12-x）=36，
x2-12x+36=0，
△=（-12）2-4×1×36=0，
此方程的解為x2=x3=6，
∴當BP=
108
13
或6時，以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，
∴存在2個點P，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，此時BP的值為
108
13
或6；

（3）在BD上存在3個P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，
理由是：設BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴當
AB
CD
=
BP
PD
或
AB
PD
=
BP
CD
時，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，
∴①
9
4
=
x
15-x
或②
9
15-x
=
x
4
，
解方程①得：x=
135
13
，
方程②得：x（15-x）=36，
x2-15x+36=0，
△=（-15）2-4×1×36=81，
此方程的解為x2=3，x3=12，
∴當BP=
135
13
或3或12時，以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，
∴存在3個點P，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，此時BP的值為
135
13
或3或12；

（4）設BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴當
AB
CD
=
BP
PD
或
AB
PD
=
BP
CD
時，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，
∴①
m
n
=
x
l-x
或②
m
l-x
=
x
n
，
解方程①得：x=
ml
m+n
，
方程②得：x（l-x）=mn，
x2-lx+mn=0，
△=（-l）2-4×1×mn=l2-4mn，
∴當l2-4mn＜0時，方程②沒有實數(shù)根，
即當l2-4mn＜0時，存在以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似的一個P點；
∵當l2-4mn=0時，方程②有1個實數(shù)根，
∴當l2-4mn=0時，存在以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似的兩個P點；
∵當l2-4mn＞0時，方程②有2個實數(shù)根，
∴當l2-4mn＞0時，存在以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似的三個P點．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質，根的判別式的應用，注意：ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c為常數(shù)），當△=b2-4ac＜0時，方程無實數(shù)解，當△=b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)解，當△=b2-4ac＞0時，方程有兩個不等的實數(shù)解．
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4
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和y=
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1
1
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