Question

【題目】某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在一次活動(dòng)中，對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題作如下探究：

（問(wèn)題發(fā)現(xiàn)）如圖1，正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在⊙O上，若點(diǎn)E在弧AB上，F是DE上的一點(diǎn)，且DF＝BE．試說(shuō)明：△ADF≌△ABE；

（變式探究）如圖2，若點(diǎn)E在弧AD上，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BE，請(qǐng)說(shuō)明線(xiàn)段BE、DE、AM之間滿(mǎn)足等量關(guān)系：BE﹣DE＝2AM；

（解決問(wèn)題）如圖3，在正方形ABCD中，CD＝2，若點(diǎn)P滿(mǎn)足PD＝2，且∠BPD＝90°，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A到BP的距離．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）點(diǎn)A到BP的距離是﹣1或+1，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）中易證AD＝AB，EB＝DF，所以只需證明∠ADF＝∠ABE，利用同弧所對(duì)的圓周角相等不難得出，從而證明全等；

（2）中易證△AEF是等腰直角三角形，所以AF＝AE，因?yàn)?/span>AM⊥BE，所以FM＝ME＝AM，EF＝2AM，EF＝BEBF＝BEDE，得出結(jié)論；

（3）由PD＝2可得：點(diǎn)P在以點(diǎn)D為圓心，2為半徑的圓上；由∠BPD＝90°可得：點(diǎn)P在以BD為直徑的圓上．顯然，點(diǎn)P是這兩個(gè)圓的交點(diǎn)，由于兩圓有兩個(gè)交點(diǎn)，接下來(lái)需對(duì)兩個(gè)位置分別進(jìn)行討論．然后，添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)，借助（2）中結(jié)論，即可解決問(wèn)題．

（1）證明：在正方形ABCD中，AB＝AD，

∠ABE與∠ADE都對(duì)應(yīng)弧AE，

∴∠ABE＝∠ADE，

在△ADF和△ABE中，

，

∴△ADF≌△ABE（SAS）；

（2）證明：在BE上取點(diǎn)F，使BF＝DE，連接AF，

由（1）△ADE≌△ABF，

∴BF＝DE，AE＝AF，∠DAE＝∠BAF，

在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，

∴∠BAF+∠DAF＝90°，

∴∠DAE+∠DAF＝90°，

∴∠EAF＝90°，

∴△EAF是等腰直角三角形三角形，

∵AM⊥BE，

∴FM＝ME＝AM，

∴EF＝2AM，

∵EF＝BE﹣BF＝BE﹣DE，

∴BE﹣DE＝2AM；

（3）點(diǎn)A到BP的距離是﹣1或+1，

理由如下：

∵PD＝2，

∴點(diǎn)P在以點(diǎn)D為圓心，2為半徑的圓上，

∵∠BPD＝90°，

∴點(diǎn)P在以BD為直徑的圓上，

∴點(diǎn)P是這兩圓的交點(diǎn)，

①當(dāng)點(diǎn)P在如圖3①所示位置時(shí)，

連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，

過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AP，交BP于點(diǎn)E，如圖3①，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADB＝45°．AB＝AD＝DC＝BC＝2，∠BAD＝90°，

∴BD＝4．

∵DP＝2，

∴BP＝2，

∵∠BPD＝∠BAD＝90°，

∴A、P、D、B在以BD為直徑的圓上，

∴∠APB＝∠ADB＝45°，

∴△PAE是等腰直角三角形，

又∵△BAD是等腰直角三角形，點(diǎn)B、E、P共線(xiàn)，AH⊥BP，

∴由（2）中的結(jié)論可得：BP＝2AH+PD，

2＝2AH+2，

∴AH＝﹣1；

②當(dāng)點(diǎn)P在如圖3②所示位置時(shí)，

連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，

過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AP，交PB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，如圖3②，

同理可得：BP＝2AH﹣PD，

2＝2AH﹣2，

∴AH＝+1，

綜上所述：點(diǎn)A到BP的距離為﹣1或+1．