Question

在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，點P（m，-1）（m＞0）．連接OP，將線段OP繞點O按逆時針方向旋轉90°得到線段OM，且點M是拋物線y=ax²+bx+c的頂點．
（1）若m=1，拋物線y=ax²+bx+c經過點（2，2），當0≤x≤1時，求y的取值范圍；
（2）已知點A（1，0），若拋物線y=ax²+bx+c與y軸交于點B，直線AB與拋物線y=ax²+bx+c有且只有一個交點，請判斷△BOM的形狀，并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵線段OP繞點O按逆時針方向旋轉90°得到線段OM
∴∠POM=90°，OP=OM
過點P（m，-1）作PQ⊥x軸于Q，過點M作MN⊥y軸于N，
∵∠POQ+∠MOQ=90°
∠MON+∠MOQ=90°
∴∠MON=∠POQ
∴∠ONM=∠OQP=90°
∴△MON≌△OPQ
∴MN=PQ=1，ON=OQ=m
∴M（1，m）
∵m=1
∴M（1，1）
∵點M是拋物線y=a（x-1）²+1
∵拋物線經過點（2，2）
∴a=1
∴y=（x-1）²+1
∴此拋物線開口向上，對稱軸為x=1
∴當x=0時，y=2，
當x=1時，y=1
∴y的取值范圍為1≤y≤2．

（2）∵點M（1，m）是拋物線y=ax²+bx+c的頂點
∴可設拋物線為y=a（x-1）²+m
∵y=a（x-1）²+m=ax²-2ax+a+m
∴B（0，a+m）
又∵A（1，0）
∴直線AB的解析式為y=-（a+m）x+（a+m）
解方程組
得ax²+（m-a）x=0
∵直線AB與拋物線y=ax²+bx+c有且只有一個交點，
∴△=（m-a）²=0
∴m=a
∴B（0，2m）．
在Rt△ONM中，由勾股定理得
OM²=MN²+ON²=1+m²
∴BM=OM
∴△BOM是等腰三角形．
分析：（1）分別過P、M作x、y軸的垂線，設垂足為Q、N；通過證△MON≌△OPQ，可求出MN、ON的長，即可得到M點的坐標；根據M點的坐標，即可求出拋物線的解析式；結合自變量的取值范圍及拋物線的對稱軸方程即可求得y的取值范圍；
（2）在（1）中已經求得M（1，m），可用a、m表示出拋物線的解析式（頂點式），進而可求出B點的坐標；用待定系數法即可得到直線AB的解析式，聯(lián)立直線AB與拋物線的解析式，由于兩個函數只有一個交點，那么所得方程的△=0，由此可求出m、a的關系式，即可用m表示出B點的坐標，然后分別求出△BOM的邊長，然后判斷△BOM的形狀．
點評：此題考查了圖形的旋轉變換、全等三角形的判定和性質、函數圖象交點坐標的求法以及等腰三角形的判定等知識．