Question

拋物線y=mx²+（m-3）x-3（m＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C，OB=OC．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P（x₁，b）與點(diǎn)Q（x₂，b）在（1）中的拋物線上，且x₁＜x₂，PQ=n．
①求4x12-2x2n+6n+3的值；
②將拋物線在PQ下方的部分沿PQ翻折，拋物線的其它部分保持不變，得到一個(gè)新圖象．當(dāng)這個(gè)新圖象與x軸恰好只有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍是

-4＜b＜-2或b=0

．

Answer 1

分析：（1）先確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)OB=OC，A在點(diǎn)B的左側(cè)，可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，將點(diǎn)B坐標(biāo)代入可得出拋物線解析式；也可采取解法二；
（2）①由拋物線y=x²-2x-3可知對(duì)稱軸為x=1，因?yàn)辄c(diǎn)P與點(diǎn)Q縱坐標(biāo)相等，可得出兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，從而可得出x₁，x₂的表達(dá)式，變形后代入即可得出答案．
②畫出圖形，結(jié)合圖形可直接得出b的范圍．

解答：解：（1）解法一：∵拋物線y=mx²+（m-3）x-3（m＞0）與y軸交于點(diǎn)C，
∴C（0，-3），
∵拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，OB=OC，
∴B（3，0）或B（-3，0），
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，m＞0，
∴拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（3，0），
∴0=9m+3（m-3）-3，
∴m=1，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3．
解法二：令y=0，∴mx²+（m-3）x-3=0．∴（x+1）（mx-3）=0．
∴x=-1，x=

3

m

，
∵m＞0，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
∴A（-1，0），B（

3

m

，0），
令x=0，可得y=-3，
∴C（0，-3），
∴OC=3，
∵OB=OC，
∴

3

m

=3，
∴m=1，
∴y=x²-2x-3．
（2）①由拋物線y=x²-2x-3可知對(duì)稱軸為x=1，
∵點(diǎn)P（x₁，b）與點(diǎn)Q（x₂，b）在這條拋物線上，且x₁＜x₂，PQ=n，
∴x₁=1-

n

2

，x₂=1+

n

2

，
∴2x₁=2-n，2x₂=2+n，
∴原式=（2-n）²-（2+n）n+6n+3=7．
②
結(jié)合圖形可得當(dāng)這個(gè)新圖象與x軸恰好只有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍是：-4＜b＜-2或b=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、代數(shù)式求值及根與系數(shù)的關(guān)系，綜合考察的知識(shí)點(diǎn)較多，解答本題要求同學(xué)們熟練掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，并將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通．