【題目】已知:點(diǎn)P在△ABC內(nèi),且滿足∠APB=∠APC(如下圖),∠APB+∠BAC=180°,
(1)求證:△PAB∽△PCA:
(2)如下圖,如果∠APB=120°,∠ABC=90°求的值;
(3)如圖,當(dāng)∠BAC=45°,△ABC為等腰三角形時(shí),求tan∠PBC的值.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)4;(3)2或或1
【解析】
(1)由已知和等量代換得∠PBA=∠PAC,再根據(jù)∠APB=∠APC可證明△PAB∽△PCA
(2)由△PAB∽△PCA可得,通過(guò)變形得到,再利用∠APB=120°,∠ABC=90°求出,則可得出的值.
(3)當(dāng)∠BAC=45°時(shí),可以推出tan∠BPC=,△ABC為等腰三角形,分BA=BC,CA=CB ,AB=AC三種情況,分情況討論即可.
(1)∵∠APB+∠PBA+∠PBA=180°,∠APB+∠BAC=180°
∴∠BAC=∠PAB+∠PBA
∴∠PBA=∠PAC
∵∠APB=∠APC
∴△PAB∽△PCA
(2)
∵△PAB∽△PCA
∴
∴
∵∠APB=120°
∴∠BAC=60°
∵∠ABC=90°
∴
∴
(3)
∵∠BAC=45°
∴∠APB=135°=∠APC
∴∠BPC=90°
tan∠BPC=
∵∠BAC=45°,△ABC是等腰三角形
當(dāng)BA=BC時(shí),由勾股定理可得 ,tan∠BPC=
當(dāng)CA=CB時(shí),由勾股定理可得 ,tan∠BPC=
當(dāng)AB=AC 時(shí),tan∠BPC=
綜上所述,tan∠PBC=2或或1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線與x軸交于點(diǎn)A(3,0),與y軸交于點(diǎn)B,拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)和拋物線的解析式;
(2)設(shè)點(diǎn)M(m,0)為線段OA上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點(diǎn)P,N.
①求PN的最大值;
②若以B,P,N為頂點(diǎn)的三角形與△APM相似,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】解下列方程
(1)(x﹣8)(x﹣1)=﹣12;
(2)3(x﹣5)2=2(5﹣x).
(3)y2-7y+6=0;
(4)2x2-4x-3=0;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC中,點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上,DE∥AB,EC=2.
(1)如圖1,將△DEC沿射線EC方向平移,得到△D′E′C′,邊D′E′與AC的交點(diǎn)為M,邊C′D′與∠ACC′的角平分線交于點(diǎn)N,當(dāng)CC′多大時(shí),四邊形MCND′為菱形?并說(shuō)明理由.
(2)如圖2,將△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)∠α(0°<α<360°),得到△D′E′C,連接AD′、BE′.邊D′E′的中點(diǎn)為P.
①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,AD′和BE′有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由;
②連接AP,當(dāng)AP最大時(shí),求AD′的值.(結(jié)果保留根號(hào))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2﹣4ax+3a.
(1)若a=1,則函數(shù)y的最小值為_______.
(2)當(dāng)1≤x≤4時(shí),y的最大值是4,則a的值為_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為增強(qiáng)學(xué)生的身體素質(zhì),泰興市教育行政部門規(guī)定學(xué)生每天參加戶外活動(dòng)的平均時(shí)間不少于1小時(shí).為了解學(xué)生參加戶外活動(dòng)的情況,對(duì)部分學(xué)生參加戶外活動(dòng)的時(shí)間進(jìn)行抽樣調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制作成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)圖中提供的信息解答下列問(wèn)題:
⑴在這次調(diào)查中一共調(diào)查了多少名學(xué)生?
⑵求戶外活動(dòng)時(shí)間為1.5小時(shí)的人數(shù),并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
⑶求表示戶外活動(dòng)時(shí)間 1小時(shí)的扇形圓心角的度數(shù);
⑷本次調(diào)查中,學(xué)生參加戶外活動(dòng)的平均時(shí)間是否符合要求?戶外活動(dòng)時(shí)間的眾數(shù)和中位數(shù)是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與x軸相交于A(3,0)、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上,且.
(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若P是拋物線上且位于直線上方的一動(dòng)點(diǎn),求的面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在線段上是否存在一點(diǎn)M,使的值最小?若存在,請(qǐng)求出這個(gè)最小值及對(duì)應(yīng)的M點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD中,M為BC上一點(diǎn),F是AM的中點(diǎn),EF⊥AM,垂足為F,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交DC于點(diǎn)N.
(1)求證:△ABM∽△EFA;
(2)若AB=12,BM=5,求DE的長(zhǎng).
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