Question

【題目】如圖，直線 ： 與x軸、y軸分別交于A、R兩點，直線與x軸、y軸分別交于C、兩點，且︰︰．

（1）如圖，為直線上一點，橫坐標為，為直線上一動點，當最小時，將線段沿射線方向平移，平移后、的對應點分別為、，當最小時，求點的坐標；

（2）如圖，將沿著軸翻折，得到，再將繞著點順時針旋轉（）得到，直線與直線、軸分別交于點、．當為等腰三角形時，請直接寫出線段的長.

Answer 1

【答案】（1）；(2) 的長為：或 或或.

【解析】

（1）如圖，作QM⊥x軸于M，首先說明當P、Q、M三點共線，且PM⊥x軸時，最小，構建一次函數理由方程組確定交點Q的坐標即可；

（2）根據題意，可以分四種情形分別求解，即可解決問題；

解：（1）∵直線l1：，
∴A（-9，0），B（0，12），
∴在Rt△AOB中，AB=15，
∵AB：BC=3：4，
∴BC=20，
∴在Rt△BOC中，OC=16，
即C（16，0），
設直線l2：y=kx+b（k≠0），
∴，解得，
∴直線l2：，

作QM⊥x軸于M，

，

則△CQM∽△CBO．

∴，

∴，即，

∴，

∴當P、Q、M三點共線，且PM⊥x軸時，PQ+CQ最小，
∴Q（12，3），
平移過程中，點Q'在直線l3上移動，
∵l3∥l1且l3經過點Q（12，3），
∴l3：y＝x13，
作點B（0，12）關于l3的對稱點B'，則B'24，-6），連接OB'，與直線l3的交點即為所求點Q'，

∵直線OB'：y＝x，

∴，解得，

∴點Q’的坐標為：.

（2）①如圖2中，當AN=AM時，作AG⊥MN于G，易知AG=，

∵∠MAN=∠NMA，
∴sin∠AMN=sin∠BAO=，
∴，
∴AM=，
∴BM=AB-AM=；
②如圖2中，當AN=AM時，作AG⊥MN于G，延長AG交OB于K，作KT⊥AB于T．

∵AM=AN，AG⊥MN，
∴∠GAM=∠GAN，
∴KO=KT，設KO=KT=m，
∵△AKO≌△AKT，
∴OA=AT=16，BT=AB-AT=4，
在Rt△BKT中，（12-m）2=m2+42，
∴m=，
在Rt△AKO中，AK=，
∵cos∠GAM=，
∴，

∴，

∴；
③如圖4中，當AM=MN時，

∵tan∠MNA=tan∠MAN=，
∴GN=，設AM=MN=n，
在Rt△AGN中，可得n2=（-n）2+（）2，
解得n=，
∴BM=AB=AM=；
④如圖5中，當AM=AN時，

由②可知，sin∠GAM=，

∴，
∴BM=；

綜合上述，的長為：或 或或.