已知拋物線y=
1
2
x2-(m-3)x+
5-4m
2

(1)求證:無論m為任何實數(shù),拋物線與x軸總有兩個交點;
(2)若A(n-3,n2+2)、B(-n+1,n2+2)是拋物線上的兩個不同點,求拋物線的解析式和n的值;
(3)若反比例函數(shù)y=
k
x
(k>0,   x>0)
的圖象與(2)中的拋物線在第一象限內(nèi)的交點的橫坐標為x0,且滿足2<x0<3,求k的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)原式等于0,利用根的判別式△>0即可得出答案;
(2)首先利用拋物線上兩個不同點A(n-3,n2+2)、B(-n+1,n2+2)的縱坐標相同,得出點A和點B關于拋物線的對稱軸對稱,則m-3=
(n-3)+(-n+1)
2
=-1
,進而求出m的值,即可得出二次函數(shù)解析式,即可得出n的值;
(3)根據(jù)當2<x<3時,對于y=
1
2
x2+x-
3
2
,y隨著x的增大而增大,再利用x=2和3時y的值得出k的取值范圍.
解答:(1)證明:令
1
2
x2-(m-3)x+
5-4m
2
=0

△=[-(m-3)]2-4×
1
2
×
5-4m
2
=m2-2m+4=(m-1)2+3.
∵不論m為任何實數(shù),都有(m-1)2+3>0,即△>0.
∴不論m為任何實數(shù),拋物線與x軸總有兩個交點.
x=-
-(m-3)
1
2
=m-3


(2)解:拋物線y=
1
2
x2-(m-3)x+
5-4m
2
的對稱軸為:x=m-3,
∵拋物線上兩個不同點A(n-3,n2+2)、B(-n+1,n2+2)的縱坐標相同,
∴點A和點B關于拋物線的對稱軸對稱,則m-3=
(n-3)+(-n+1)
2
=-1

∴m=2.
∴拋物線的解析式為y=
1
2
x2+x-
3
2
.   
∵A(n-3,n2+2)在拋物線y=
1
2
x2+x-
3
2
上,
1
2
(n-3)2+(n-3)-
3
2
=n2+2

化簡,得n2+4n+4=0.
∴n=-2.  

(3)解:當2<x<3時,
對于y=
1
2
x2+x-
3
2
,y隨著x的增大而增大,
對于y=
k
x
(k>0,   x>0)
,y隨著x的增大而減。
所以當x0=2時,由反比例函數(shù)圖象在二次函數(shù)圖象上方,
k
2
1
2
×22+2-
3
2
,
解得:k>5.
當x0=3時,由二次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方,
1
2
×32+3-
3
2
k
3
,
解得k<18.
所以k的取值范圍為:5<k<18.
點評:此題主要考查了拋物線與x軸交點問題以及二次函數(shù)與不等式等知識,根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的特征得出n的值是解題關鍵.
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5
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