Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù) （m為常數(shù)）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C．以直線x=1為對(duì)稱軸的拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，并與x軸的正半軸交于點(diǎn)B．

（1）求m的值及拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作直線AC的平行線交x軸于點(diǎn)F．是否存在這樣的點(diǎn)E，使得以A，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)及相應(yīng)的平行四邊形的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）若P是拋物線對(duì)稱軸上使△ACP的周長取得最小值的點(diǎn)，過點(diǎn)P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于M1（x1 ， y1），M2（x2 ， y2）兩點(diǎn)，試探究 是否為定值，并寫出探究過程．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵ 經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，0），

∴0=- +m，解得m= ，

∴直線解析式為 ，C（0， ）．

∵拋物線y=ax2+bx+c對(duì)稱軸為x=1，且與x軸交于A（﹣3，0），

∴另一交點(diǎn)為B（5，0），

設(shè)拋物線解析式為y=a（x+3）（x﹣5），

∵拋物線經(jīng)過C（0， ），

∴ =a3（﹣5），解得a=- ，

∴拋物線解析式為y=- x2+ x+

（2）

解：假設(shè)存在點(diǎn)E使得以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

則AC∥EF且AC=EF．如答圖1，

（i）當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)E位置時(shí)，過點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G，

∵AC∥EF，∴∠CAO=∠EFG，

又∵ ，

∴△CAO≌△EFG，

∴EG=CO= ，即yE= ，

∴ =- xE2+ xE+ ，解得xE=2（xE=0與C點(diǎn)重合，舍去），

∴E（2， ），SACEF= ；

（ii）當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)E′位置時(shí)，過點(diǎn)E′作E′G′⊥x軸于點(diǎn)G′，

同理可求得E′（ +1，- ），SACF′E′=

（3）

解：要使△ACP的周長最小，只需AP+CP最小即可．

如答圖2，連接BC交x=1于P點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)A、B關(guān)于x=1對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短，可知此時(shí)AP+CP最小（AP+CP最小值為線段BC的長度）．

∵B（5，0），C（0， ），

∴直線BC解析式為y=- x+ ，

∵xP=1，∴yP=3，即P（1，3）．

令經(jīng)過點(diǎn)P（1，3）的直線為y=kx+b，則k+b=3，即b=3﹣k，

則直線的解析式是：y=kx+3﹣k，

∵y=kx+3﹣k，y=- x2+ x+ ，

聯(lián)立化簡得：x2+（4k﹣2）x﹣4k﹣3=0，

∴x1+x2=2﹣4k，x1x2=﹣4k﹣3．

∵y1=kx1+3﹣k，y2=kx2+3﹣k，

∴y1﹣y2=k（x1﹣x2）．

根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得到：

M1M2= = =

∴M1M2= = =4（1+k2）．

又M1P= = = ；

同理M2P=

∴M1PM2P=（1+k2） =（1+k2） =（1+k2） =4（1+k2）．

∴M1PM2P=M1M2，

∴ =1為定值．

【解析】（1）首先求得m的值和直線的解析式，根據(jù)拋物線對(duì)稱性得到B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)A、B點(diǎn)坐標(biāo)利用交點(diǎn)式求得拋物線的解析式；（2）存在點(diǎn)E使得以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．如答圖1所示，過點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G，構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形和平行四邊形的性質(zhì)求得E點(diǎn)坐標(biāo)和平行四邊形的面積．注意：符合要求的E點(diǎn)有兩個(gè)，如答圖1所示，不要漏解；（3）本問較為復(fù)雜，如答圖2所示，分幾個(gè)步驟解決：
第1步：確定何時(shí)△ACP的周長最�。�利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短的原理解決；第2步：確定P點(diǎn)坐標(biāo)P（1，3），從而直線M1M2的解析式可以表示為y=kx+3﹣k；第3步：利用根與系數(shù)關(guān)系求得M1、M2兩點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)，得到x1+x2=2﹣4k，x1x2=﹣4k﹣3．這一步是為了后續(xù)的復(fù)雜計(jì)算做準(zhǔn)備；第4步：利用兩點(diǎn)間的距離公式，分別求得線段M1M2、M1P和M2P的長度，相互比較即可得到結(jié)論： =1為定值．這一步涉及大量的運(yùn)算，注意不要出錯(cuò)，否則難以得出最后的結(jié)論．