（如圖1），點P將線段AB分成一條較小線段AP和一條較大線段BP，如果數(shù)學公式，那么稱點P為線段AB的黃金分割點，設數(shù)學公式=k，則k就是黃金比，并且k≈0.618．

（1）以圖1中的AP為底，BP為腰得到等腰△APB（如圖2），等腰△APB即為黃金三角形，黃金三角形的定義為：滿足數(shù)學公式≈0.618的等腰三角形是黃金三角形；類似地，請你給出黃金矩形的定義：______；
（2）如圖1，設AB=1，請你說明為什么k約為0.618；
（3）由線段的黃金分割點聯(lián)想到圖形的“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成面積為S1和面積為S2的兩部分（設S1＜S2），如果數(shù)學公式，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線．（如圖3），點P是線段AB的黃金分割點，那么直線CP是△ABC的黃金分割線嗎？請說明理由；
（4）圖3中的△ABC的黃金分割線有幾條？

解：
（1）滿足≈0.618的矩形是黃金矩形；

（2）由=k得，BP=1×k=k，從而AP=1-k，
由得，BP2=AP×AB，
即k2=（1-k）×1，
解得k=，
∵k＞0，
∴k=≈0.618；

（3）因為點P是線段AB的黃金分割點，所以，
設△ABC的AB上的高為h，則
，
∴
∴直線CP是△ABC的黃金分割線．

（4）由（2）知，在BC邊上也存在這樣的黃金分割點Q，則AQ也是黃金分割線，設AQ與CP交于點W，則過點W的直線均是△ABC的黃金分割線，故黃金分割線有無數(shù)條．
分析：（1）類比黃金三角形的定義進行定義；
（2）（3）根據(jù)線段黃金分割點的概念和三角形的面積公式進行分析；
（4）根據(jù)（2）中的結(jié)論，得到這樣的直線有無數(shù)條．
點評：注意線段的黃金分割點的概念的延伸，能夠根據(jù)黃金分割的定義結(jié)合三角形的面積進行分析證明．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（如圖1），點P將線段AB分成一條較小線段AP和一條較大線段BP，如果
AP
BP
=
BP
AB
，那么稱點P為線段AB的黃金分割點，設
AP
BP
=
BP
AB
=k，則k就是黃金比，并且k≈0.618．
精英家教網(wǎng)
（1）以圖1中的AP為底，BP為腰得到等腰△APB（如圖2），等腰△APB即為黃金三角形，黃金三角形的定義為：滿足
底
腰
=
腰
底+腰
≈0.618的等腰三角形是黃金三角形；類似地，請你給出黃金矩形的定義：
 
；
（2）如圖1，設AB=1，請你說明為什么k約為0.618；
（3）由線段的黃金分割點聯(lián)想到圖形的“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成面積為S1和面積為S2的兩部分（設S1＜S2），如果
S1
S2
=
S2
S
，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線．（如圖3），點P是線段AB的黃金分割點，那么直線CP是△ABC的黃金分割線嗎？請說明理由；
（4）圖3中的△ABC的黃金分割線有幾條？

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

8、如圖，已知點D是△ABC中BC邊上的一點，線段AD將△ABC分為面積相等的兩部分，則線段AD是△ABC的一條（　　）

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知：△ABC為邊長是4
3
的等邊三角形，四邊形DEFG為邊長是6的正方形．現(xiàn)將等邊△ABC和正方形DEFG按如圖1的方式擺放，使點C與點E重合，點B、C（E）、F在同一條直線上，△ABC從圖1的位置出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿EF方向向右勻速運動，當點C與點F重合時暫停運動，設△ABC的運動時間為t秒（t≥0）．

（1）在整個運動過程中，設等邊△ABC和正方形DEFG重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如圖2，當點A與點D重合時，作∠ABE的角平分線BM交AE于M點，將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使邊AB與邊AC重合，得到△ACN．在線段AG上是否存在H點，使得△ANH為等腰三角形．如果存在，請求出線段EH的長度；若不存在，請說明理由．
（3）如圖3，若四邊形DEFG為邊長為4
3
的正方形，△ABC的移動速度為每秒
3
個單位長度，其余條件保持不變．△ABC開始移動的同時，Q點從F點開始，沿折線FG-GD以每秒2
3
個單位長度開始移動，△ABC停止運動時，Q點也停止運動．設在運動過程中，DE交折線BA-AC于P點，則是否存在t的值，使得PC⊥EQ，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學 來源：2008-2009學年江蘇省南京市九年級（下）教學質(zhì)量檢測數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

（如圖1），點P將線段AB分成一條較小線段AP和一條較大線段BP，如果，那么稱點P為線段AB的黃金分割點，設=k，則k就是黃金比，并且k≈0.618．

（1）以圖1中的AP為底，BP為腰得到等腰△APB（如圖2），等腰△APB即為黃金三角形，黃金三角形的定義為：滿足≈0.618的等腰三角形是黃金三角形；類似地，請你給出黃金矩形的定義：______；
（2）如圖1，設AB=1，請你說明為什么k約為0.618；
（3）由線段的黃金分割點聯(lián)想到圖形的“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成面積為S1和面積為S2的兩部分（設S1＜S2），如果，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線．（如圖3），點P是線段AB的黃金分割點，那么直線CP是△ABC的黃金分割線嗎？請說明理由；
（4）圖3中的△ABC的黃金分割線有幾條？

查看答案和解析>>

同步練習冊答案