Question

如圖①△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=120°，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N，連接MN．
（1）探究BM、MN、NC之間的關(guān)系，并說明理由．
（2）若△ABC的邊長為2，求△AMN的周長．
（3）若點M、N分別是AB、CA延長線上的點，其它條件不變，在圖②中畫出圖形，并說出BM、MN、NC之間的關(guān)系．

Answer 1

解：（1）MN=BM+NC，理由如下：
延長AC至E，使得CE=BM（或延長AB至E，使得BE=CN），并連接DE，如圖1所示：
∵△BDC為等腰三角形，△ABC為等邊三角形，
∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，
又BD=DC，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，
∴∠MBD=∠ECD=90°，
在△MBD與△ECD中，
∵，
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD=DE，∠BDM=∠CDE，
∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，
∴∠BDM+∠CDN=60°，
∴∠CDE+∠CDN=60°，即∠EDN=60°，
∴∠EDN=∠MDN，
在△DMN和△DEN中，
∵，
∴△DMN≌△DEN（SAS），
∴MN=EN=NC+CE=BM+NC；

（2）利用（1）中的結(jié)論得出：
△AMN的周長=AM+MN+AN
=（AM+BM）+（NC+AN）
=2+2=4；

（3）按要求作出圖形，如圖2所示，
（1）中結(jié)論不成立，應(yīng)為MN=NC-BM，理由如下：
在CA上截取CE=BM，
∵△ABC是正三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
又∵BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠BCD=∠CBD=30°，
∴∠MBD=∠ECD=90°，
又∵CE=BM，BD=CD，
在△BMD和△CED中，
∵，
∴△BMD≌△CED（SAS），
∴DE=DM，
在△MDN和△EDN中，
∵，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=NE=NC-CE=NC-BM．
分析：（1）延長AC至E，使得CE=BM并連接DE，構(gòu)造全等三角形，找到相等的線段MD=DE，再進一步證明△DMN≌△DEN，進而等量代換得到MN=BM+NC；
（2）利用（1）中結(jié)論，將△AMN的周長轉(zhuǎn)化為AB、AC的和來解答；
（3）按要求作出圖形，BM、MN、NC之間的關(guān)系是MN=NC-BM，理由為：先證△BMD≌△CED，再證△MDN≌△EDN（SAS），即可得證．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)；此題從不同角度考查了作相等線段構(gòu)造全等三角形的能力，要充分利用等邊三角形及等腰三角形的性質(zhì)，轉(zhuǎn)換各相等線段解答．