Question

（2013年四川眉山3分）如圖，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，點D、E為BC邊上的兩點，且∠DAE=45°，連接EF、BF，則下列結(jié)論：①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC＞DE；④BE²+DC²=DE²，

其中正確的有【    】個．

A．1     B．2      C．3     D．4

 

Answer 1

【答案】

C。

【解析】①∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，∴∠FAE=∠DAF﹣∠DAE=45°．

  在△AED與△AEF中，∵，∴△AED≌△AEF（SAS）。①正確。

②∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABE=∠C=45°。

∵點D、E為BC邊上的兩點，∠DAE=45°，∴AD與AE不一定相等，∠AED與∠ADE不一定相等。

∵∠AED=45°+∠BAE，∠ADE=45°+∠CAD，∴∠BAE與∠CAD不一定相等。

∴△ABE與△ACD不一定相似。②錯誤。

③∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAC﹣∠BAD=∠DAF﹣∠BAD，即∠CAD=∠BAF。

在△ACD與△ABF中，∵，∴△ACD≌△ABF（SAS）�！郈D=BF。

由①知△AED≌△AEF，∴DE=EF。

在△BEF中，∵BE+BF＞EF，∴BE+DC＞DE。③正確。

④由③知△ACD≌△ABF，∴∠C=∠ABF=45°。

∵∠ABE=45°，∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°。

在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE²+BF²=EF²。

∵BF=DC，EF=DE，∴BE²+DC²=DE²。④正確。

綜上所述，正確的結(jié)論有①③④。故選C。

考點：全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理。