【題目】如圖,△ABC與△DEC均為等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,連接BE,將BE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°,得BF,連接AD,BDAF

(1)如圖①,D、E分別在ACBC邊上,求證:四邊形ADBF為平行四邊形;

(2)△DEC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn),其它條件不變,如圖②,(1)的結(jié)論是否成立?說明理由.

(3)在圖①中,將△DEC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)一周,其它條件不變,問:旋轉(zhuǎn)角為多少度時.四邊形ADBF為菱形?直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù).

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)旋轉(zhuǎn)角為135°或315°時,四邊形ADBF為菱形,理由見解析.

【解析】試題分析:1)先根據(jù)△ABC與△DEC均為等腰直角三角形,以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),得出AD=BE,ADBF,進(jìn)而得到四邊形為平行四邊形;
2)先延長BEADG,交ACO,根據(jù)△ABC與△DEC均為等腰直角三角形,判定△ACD≌△BCESAS),得出AD=BE,CAD=CBE再根據(jù)“8字形得出∠AGE=90°,判定ADBF,即可得出四邊形為平行四邊形;
3)分兩種情況討論:當(dāng)旋轉(zhuǎn)角時,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為時,分別判定△ACD≌△BCD,得到 再根據(jù)四邊形為平行四邊形,得出四邊形為菱形.

試題解析:1)如圖1,∵△ABC與△DEC均為等腰直角三角形,


AC-DC=BC-EC
AD=BE,
∵將BE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°BF
BE=BF,
AD=BF
又∵∠ACB=90°,CBF=90°
∴∠C+CBF=180°,
ADBF,
∴四邊形ADBF為平行四邊形;
2)如圖2,(1)中的結(jié)論仍成立.
理由:延長BEADG,交ACO
∵△ABC與△DEC均為等腰直角三角形,∠ACB=DCE=90°,
DC=ECAC=BC,ACD=BCE,
∴△ACD≌△BCESAS),
AD=BE,CAD=CBE,
又∵BE=BF,ACB=90°,AOG=BOC
AD=BF,AGE=90°,
AGB+EBF=180°,
ADBF,
∴四邊形ADBF為平行四邊形;


3)旋轉(zhuǎn)角為135°315°時,四邊形ADBF為菱形.
理由:如圖所示,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角∠BCE=135°時,∠ACE=45°,此時∠BCD=135°
∴∠ACD=BCD,
又∵AC=BC,
∴△ACD≌△BCDSAS),
AD=BD
又∵四邊形ADBF為平行四邊形,
∴四邊形ADBF為菱形;
如圖所示,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為315°時,∠BCE=45°,此時∠BCD=45°
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD=BCD
又∵AC=BC,
∴△ACD≌△BCDSAS),
AD=BD,
又∵四邊形ADBF為平行四邊形,
∴四邊形ADBF為菱形.

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(2)如圖3,若點B、P在直線的同側(cè),其它條件不變,此時PM=PN還成立嗎?若成立,請給予證明;若不成立,請說明理由;

(3)如圖4,∠BAC=90°,直線旋轉(zhuǎn)到與BC垂直的位置,EAB上一點且AE=AC,EN⊥N,連接EC,EC中點P,連接PM、PN,求證:PM⊥PN.

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④若|a|>|b|,則>0.

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